## 张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第01天
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1、 2、 (20 分) 解答如下问题: (1)、 叙述区间套定理; (2)、 利用区间套定理证明聚点定理, 即实数集 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 中任意有界无穷子集至少有一个聚点. (安徽大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 闭区间套定理. 设 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]\subset [a\_n,b\_n], \lim\_\{n\to\infty\}(b\_n-a\_n)=0$, 则
\begin\{aligned\} \exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=1\}^\infty [a\_n,b\_n]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 用闭区间套定理证明聚点定理. 设 $\displaystyle S$ 是有界无限点集, 则
\begin\{aligned\} \exists\ a\_0 < b\_0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ n\geq 1, x\_n\in [a\_0,b\_0]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
一旦给出了 $\displaystyle [a\_n,b\_n]\ (n\geq 0)$, 则将它二等分, 则至少有个子区间含有 $\displaystyle S$ 中无限多个点, 记为 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]$. 于是
\begin\{aligned\} [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]\subset [a\_n,b\_n], b\_\{n+1\}-a\_\{n+1\}=\frac\{1\}\{2\}(b\_n-a\_n). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是 $\displaystyle \left\\{[a\_n,b\_n]\right\\}$ 是闭区间套. 由闭区间套定理知
\begin\{aligned\} \exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=1\}^\infty [a\_n,b\_n]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 由 $\displaystyle \lim\_\{n\to\infty\}a\_n=\lim\_\{n\to\infty\}b\_n=\xi$ 知
\begin\{aligned\} \exists\ N,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ n\geq N, \xi-\varepsilon < a\_n < b\_n < \xi+\varepsilon \Rightarrow [a\_n,b\_n]\subset U(\xi;\varepsilon). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由 $\displaystyle [a\_n,b\_n]$ 的构造知它含有 $\displaystyle S$ 中无限多个点, 而 $\displaystyle U(\xi;\varepsilon)$ 中含有 $\displaystyle S$ 中无限多个点. 这就证明了 $\displaystyle \xi$ 是 $\displaystyle S$ 的聚点.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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2、 3、 设 $\displaystyle f(x),g(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb\{R\}$ 上的有界函数. 证明:
\begin\{aligned\} \sup\_\{x\in\mathbb\{R\}\}\left\\{f(x)+g(x)\right\\}&\leq \sup\_\{x\in\mathbb\{R\}\}\left\\{f(x)\right\\} +\sup\_\{x\in\mathbb\{R\}\}\left\\{g(x)\right\\};\\\\ \inf\_\{x\in\mathbb\{R\}\}\left\\{f(x)+g(x)\right\\}&\geq \inf\_\{x\in\mathbb\{R\}\}\left\\{f(x)\right\\} +\inf\_\{x\in\mathbb\{R\}\}\left\\{g(x)\right\\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(北京工业大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 对 $\displaystyle \forall\ x\in\mathbb\{R\}$,
\begin\{aligned\} f(x)\leq \sup\_\mathbb\{R\} f, g(x)\leq \sup\_\mathbb\{R\} g \Rightarrow f(x)+g(x)\leq \sup\_\mathbb\{R\} f+\sup\_\mathbb\{R\} g. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故 $\displaystyle \sup\_\mathbb\{R\} f+\sup\_\mathbb\{R\} g$ 是 $\displaystyle f(x), x\in\mathbb\{R\}$ 的一个上界. 从而 $\displaystyle \sup\_\mathbb\{R\} (f+g)\leq \sup\_\mathbb\{R\} f+\sup\_\mathbb\{R\} g$. 同理可证 $\displaystyle \inf\_\mathbb\{R\} (f+g)\geq \inf\_\mathbb\{R\} f+\inf\_\mathbb\{R\} g$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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3、 3、 (15 分) 用确界原理证明定义在闭区间上的连续函数必然是有界的. (北京科技大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续,
\begin\{aligned\} A=\left\\{c\in[a,b]; f\mbox\{在 $\displaystyle [a,c]$ 上有界\}\right\\}, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
则 $\displaystyle a\in A$. 由确界原理知 $\displaystyle \xi=\sup A$ 存在, 且 $\displaystyle a\leq \xi\leq b$. 往用反证法证明 $\displaystyle \xi=b$. 若 $\displaystyle \xi < b$, 则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,\xi]$ 上有界, 设界为 $\displaystyle M$. 由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle x=\xi$ 处连续知
\begin\{aligned\} \exists\ \delta\in (0,\min\left\\{\xi-a,b-\xi\right\\}),\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x\in U(\xi;\delta), |f(x)-f(\xi)| < 1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \left\[a,\xi+\frac\{\delta\}\{2\}\right\]$ 上有界, 且界为 $\displaystyle \max\left\\{M, |f(\xi)|+1\right\\}$. 这就证明了
\begin\{aligned\} \xi+\frac\{\delta\}\{2\}\in A\Rightarrow \xi+\frac\{\delta\}\{2\}\leq \sup A=\xi\Rightarrow \delta\leq 0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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4、 9、 设 $\displaystyle S$ 为有界集, 且 $\displaystyle \sup S=a\not\in S$. 证明: 存在严格递增的数列 $\displaystyle \left\\{x\_n\right\\}\subset S$, 使得 $\displaystyle \lim\_\{n\to\infty\}x\_n=a$. (北京邮电大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 由上确界定义,
\begin\{aligned\} \exists\ x\_1\in S, \mathrm\{ s.t.\} a-1 < x\_1\leq a. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
又 $\displaystyle a\not\in S$, 我们有 $\displaystyle a-1 < x\_1 < a$. (2)、 若 $\displaystyle x\_1,\cdots,x\_k$ 已选出, 使得 $\displaystyle x\_1 < x\_2 < \cdots < x\_k < a$, 则同第 1 步的论述,
\begin\{aligned\} \exists\ x\_\{k+1\}\in S,\mathrm\{ s.t.\} x\_k < x\_\{k+1\} < a. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(3)、 如此就得到了 $\displaystyle x\_n\in S, x\_n$ 严 $\displaystyle \nearrow a$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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5、 17、 利用聚点定理证明闭区间上连续函数的有界性. (东南大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, 往用反证法证明 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界. 若 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上无界, 则 \begin\{aligned\} \forall\ n\in\mathbb\{Z\}\_+, \exists\ x\_n\in [a,b], \mathrm\{ s.t.\} |f(x\_n)| > n. \qquad(250601: wujie)\tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由聚点定理,
\begin\{aligned\} \exists\ n\_k, x\_0\in [a,b],\mathrm\{ s.t.\} \lim\_\{k\to\infty\}x\_\{n\_k\}=x\_0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
又 $\displaystyle f$ 连续保证了
\begin\{aligned\} f(x\_0)=\lim\_\{k\to\infty\}f(x\_\{n\_k\}). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
据数列极限的有界性知 $\displaystyle \left\\{f(x\_\{n\_k\})\right\\}$ 有界. 但这与 (250601: wujie) 矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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6、 (5)、 利用闭区间套定理证明: 有界数列必有收敛子列. (广西大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle \left\\{a\_n\right\\}$ 是一个有界数列, 则
\begin\{aligned\} \exists\ a\_0 < b\_0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ n\geq 1, x\_n\in [a\_0,b\_0]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
一旦给出了 $\displaystyle [a\_n,b\_n]\ (n\geq 0)$, 则将它二等分, 则至少有个子区间含有 $\displaystyle \left\\{a\_n\right\\}$ 中无限多项, 记为 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]$. 于是
\begin\{aligned\} [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]\subset [a\_n,b\_n], b\_\{n+1\}-a\_\{n+1\}=\frac\{1\}\{2\}(b\_n-a\_n). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是 $\displaystyle \left\\{[a\_n,b\_n]\right\\}$ 是闭区间套. 由闭区间套定理知
\begin\{aligned\} \exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=1\}^\infty [a\_n,b\_n]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 由 $\displaystyle \lim\_\{n\to\infty\}a\_n=\lim\_\{n\to\infty\}b\_n=\xi$ 知
\begin\{aligned\} \exists\ N,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ n\geq N, \xi-\varepsilon < a\_n < b\_n < \xi+\varepsilon \Rightarrow [a\_n,b\_n]\subset U(\xi;\varepsilon). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由 $\displaystyle [a\_n,b\_n]$ 的构造知它含有 $\displaystyle \left\\{a\_n\right\\}$ 中无限多项, 而 $\displaystyle U(\xi;\varepsilon)$ 中含有 $\displaystyle \left\\{a\_n\right\\}$ 中无限多项. 在 $\displaystyle U\left(\xi;\frac\{1\}\{k\}\right)$ 中取 $\displaystyle a\_\{n\_k\}$, 并使得 $\displaystyle n\_k$ 关于 $\displaystyle k$ 严增, 则得到 $\displaystyle \lim\_\{k\to\infty\}a\_\{n\_k\}=\xi$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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7、 3、 (10 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上每点极限都存在, 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有界. (合肥工业大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由题设, $\displaystyle \forall\ x\in [0,1]$, $\displaystyle \lim\_\{x'\to x\}f(x')=l\_x$ 存在, 而
\begin\{aligned\} \exists\ \delta\_x > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x'\in U(x;\delta\_x)\cap [0,1], &|f(x')-f(x)| < 1\\\\ \Rightarrow& |f(x')|\leq |f(x)|+1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由 $\displaystyle [0,1]\subset \bigcup\_\{x\in [0,1]\}U(x;\delta\_x)$ 及有限覆盖定理知
\begin\{aligned\} \left\[0,1\right\]\subset U(x\_1;\delta\_\{x\_1\})\cup\cdots U(x\_m;\delta\_\{x\_m\}). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
令 $\displaystyle M=\max\_\{1\leq i\leq m\}|f(x\_i)|+1$, 则
\begin\{aligned\} x\in [0,1]\Rightarrow&\exists\ i,\mathrm\{ s.t.\} x\in U(x\_i; \delta\_\{x\_i\})\\\\ \Rightarrow&|f(x)|\leq |f(x\_i)|+1\leq M. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有界, 且界为 $\displaystyle M$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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8、 (2)、 叙述闭区间套及闭区间套定理. (河海大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]\subset [a\_n,b\_n], \lim\_\{n\to\infty\}(b\_n-a\_n)=0$, 则称 $\displaystyle \left\\{[a\_n,b\_n]\right\\}$ 为闭区间套, 且
\begin\{aligned\} \exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=1\}^\infty [a\_n,b\_n]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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9、 3、 (15 分) 叙述闭区间套定理, 并用其证明致密性定理. (河南大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 闭区间套定理. 设 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]\subset [a\_n,b\_n], \lim\_\{n\to\infty\}(b\_n-a\_n)=0$, 则
\begin\{aligned\} \exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=1\}^\infty [a\_n,b\_n]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 致密性定理. 有界序列定有一个收敛子列. (3)、 用闭区间套定理证明致密性定理. 设 $\displaystyle \left\\{x\_n\right\\}$ 是一个有界序列, 则
\begin\{aligned\} \exists\ a\_0 < b\_0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ n\geq 1, x\_n\in [a\_0,b\_0]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
一旦给出了 $\displaystyle [a\_n,b\_n]\ (n\geq 0)$, 则将它二等分, 则至少有个子区间含有 $\displaystyle \left\\{x\_n\right\\}$ 中无限多项, 记为 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]$. 于是
\begin\{aligned\} [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]\subset [a\_n,b\_n], b\_\{n+1\}-a\_\{n+1\}=\frac\{1\}\{2\}(b\_n-a\_n). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是 $\displaystyle \left\\{[a\_n,b\_n]\right\\}$ 是闭区间套. 由闭区间套定理知
\begin\{aligned\} \exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=1\}^\infty [a\_n,b\_n]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
对 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 由 $\displaystyle \lim\_\{n\to\infty\}a\_n=\lim\_\{n\to\infty\}b\_n=\xi$ 知
\begin\{aligned\} \exists\ N,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ n\geq N, \xi-\varepsilon < a\_n < b\_n < \xi+\varepsilon \Rightarrow [a\_n,b\_n]\subset U(\xi;\varepsilon). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由 $\displaystyle [a\_n,b\_n]$ 的构造知它含有 $\displaystyle \left\\{x\_n\right\\}$ 中无限多项, 而 $\displaystyle U(\xi;\varepsilon)$ 中含有 $\displaystyle \left\\{x\_n\right\\}$ 中无限多项. 这就证明了 $\displaystyle \left\\{x\_n\right\\}$ 有一个子列收敛于 $\displaystyle \xi$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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10、 9、 给出函数 $\displaystyle f(x)=2[x]-[2x]$ 的最小正周期并给予证明. (华东师范大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由
\begin\{aligned\} \left\[2x\right\]=n\Leftrightarrow n\leq 2x < n+1\Leftrightarrow \frac\{n\}\{2\}\leq x < \frac\{n+1\}\{2\} \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知
\begin\{aligned\} \left\[2x\right\]=2m\Leftrightarrow&m\leq x < m+\frac\{1\}\{2\}\Rightarrow [x]=m,\\\\ \left\[2x\right\]=2m+1\Leftrightarrow&m+\frac\{1\}\{2\}\leq x < m+1\Rightarrow [x]=m. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故
\begin\{aligned\} f(x)=\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}2m-2m=0,&m\leq x < m+\frac\{1\}\{2\},\\\\ 2m-(2m+1)=-1,&m+\frac\{1\}\{2\}\leq x < m+1.\end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这表明 $\displaystyle f$ 的最小正周期为 $\displaystyle 1$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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11、 7、 叙述数列极限的柯西收敛准则, 并利用致密性定理证明该定理. (南昌大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
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https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 数列极限的柯西收敛准则叙述如下. 数列 $\displaystyle \left\\{x\_n\right\\}$ 收敛当且仅当它是 Cauchy 列, 即
\begin\{aligned\} \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ N,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ m > n\geq N, |x\_m-x\_n| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
证明如下. $\displaystyle \Rightarrow$: 由三角不等式即知. $\displaystyle \Leftarrow$: 设 $\displaystyle \left\\{x\_n\right\\}$ 是 Cauchy 列, 则
\begin\{aligned\} \forall\ \varepsilon > 0, \exists\ N,\ \forall\ m,n\geq N,\ |x\_m-x\_n| < \frac\{\varepsilon\}\{2\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由致密性定理知 $\displaystyle \left\\{x\_n\right\\}$ 有一个收敛子列 $\displaystyle \left\\{x\_\{n\_k\}\right\\}$, 其极限为 $\displaystyle x$, 则
\begin\{aligned\} \exists\ K\geq N, \mathrm\{ s.t.\} \forall\ k\geq K, |x\_\{n\_k\}-x| < \frac\{\varepsilon\}\{2\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是当 $\displaystyle n\geq n\_K$ 时,
\begin\{aligned\} |x\_n-x|&\leq |x\_n-x\_\{n\_K\}|+|x\_\{n\_K\}-x|\\\\ & < \frac\{\varepsilon\}\{2\}+\frac\{\varepsilon\}\{2\}\left(n\geq n\_K\geq K\geq N\right)\\\\ &=\varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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12、 10、 解答如下问题: (1)、 叙述实数系完备性中的确界原理与闭区间套定理; (2)、 用闭区间套定理证明确界原理. (南京师范大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 (1-1)、 确界原理: 非空有上界集有上确界. (1-2)、 闭区间套定理: 设 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]\subset [a\_n,b\_n], \lim\_\{n\to\infty\}(b\_n-a\_n)=0$, 则
\begin\{aligned\} \exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=1\}^\infty [a\_n,b\_n]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 设 $\displaystyle A$ 是非空有上界集, 则
\begin\{aligned\} A\neq \varnothing&\Rightarrow \exists\ a\_0\in A,\\\\ A\mbox\{有上界\}&\Rightarrow \exists\ b\_0\in\mathbb\{R\},\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x\in A, x\leq b\_0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
设 $\displaystyle [a\_n,b\_n]\ (n\geq 0)$ 已给定, 则将其二等分. (2-1)、 若 $\displaystyle \exists\ x\_0\in A,\mathrm\{ s.t.\} x\_0 > \frac\{a+b\}\{2\}$, 则取 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]=\left\[\frac\{a\_n+b\_n\}\{2\},b\_n\right\]$; (2-2)、 若 $\displaystyle \forall\ x\in A, x\leq \frac\{a\_n+b\_n\}\{2\}$, 则取 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}] =\left\[a\_n,\frac\{a\_n+b\_n\}\{2\}\right\]$. 如此得到一闭区间套 $\displaystyle \left\\{[a\_n,b\_n]\right\\}\_\{n=0\}^\infty$, 其具有性质: (2-1)、 $\displaystyle \forall\ x\in A, x\leq b\_n$; (2-2)、 $\displaystyle \exists\ x\_n\in A,\mathrm\{ s.t.\} x\_n\geq a\_n$. 由闭区间套定理, $\displaystyle \exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=0\}^\infty [a\_n,b\_n]$. 往证 $\displaystyle \xi=\sup A$. (2-1)、 在闭区间套的性质 i 中令 $\displaystyle n\to\infty$ 得 $\displaystyle \forall\ x\in A, x\leq \xi$; (2-2)、
\begin\{aligned\} &\lim\_\{n\to\infty\}a\_n=\xi\Rightarrow \forall\ \varepsilon > 0, \exists\ N,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ n\geq N, |a\_n-\xi| < \varepsilon\\\\ \Rightarrow& \forall\ \varepsilon > 0, \xi-\varepsilon < a\_N\leq \xi\\\\ \Rightarrow& \forall\ \varepsilon > 0, \exists\ x\_N\in A,\mathrm\{ s.t.\} \xi-\varepsilon < a\_N\leq x\_N\left(\mbox\{闭区间套的性质 2\}\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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13、 5、 设 $\displaystyle S$ 为非空有界数集, 证明: $\displaystyle \sup\_\{x,y\in S\}|x-y|=\sup S-\inf S$. (上海大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 设 $\displaystyle M=\sup S, m=\inf S$. 若 $\displaystyle M=m$, 则 $\displaystyle S$ 只有一个元素, 而结论自明. 若 $\displaystyle M > m$, 则
\begin\{aligned\} x,y\in S\Rightarrow& \left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}m\leq x\leq M\\\\ m\leq y\leq M\Rightarrow -M\leq -y\leq -m\end\{array\}\right.\\\\ \Rightarrow&m-M\leq x-y\leq M-m\Rightarrow |x-y|\leq M-m. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
再者, 对 $\displaystyle \forall\ 0 < \alpha < M-m$,
\begin\{aligned\} &\alpha+m < M=\sup S\Rightarrow \exists\ x\in S,\mathrm\{ s.t.\} \alpha+m < x\\\\ \Rightarrow&\exists\ x\in S, \mathrm\{ s.t.\} x-\alpha > m=\inf S \Rightarrow \exists\ x,y\in S,\mathrm\{ s.t.\} x-\alpha > y\\\\ \Rightarrow& \exists\ x,y\in S, |x-y|=x-y > \alpha. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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14、 4、 (20 分) 用有限覆盖定理证明有限区间 $\displaystyle [a,b]$ 上的连续函数一定一致连续. (上海交通大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 我们先给出加强形式的覆盖定理. 如果 $\displaystyle \left\\{I\_\alpha\right\\}$ 是区间 $\displaystyle [a,b]$ 的一个开覆盖, 则
\begin\{aligned\} \exists\ \delta > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x',x''\in [a,b], \exists\ I\_\beta\in\left\\{I\_\alpha\right\\},\mathrm\{ s.t.\} x',x''\in I\_\beta. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这个数 $\displaystyle \delta$ 称为开覆盖的 Lebesgue 数. 事实上, 由 $\displaystyle [a,b]\subset \bigcup\_\alpha I\_\alpha$ 及有限覆盖定理知
\begin\{aligned\} \left\[a,b\right\]\subset I\_1\cup \cdots \cup I\_n\left(I\_i=I\_\{\alpha\_i\}\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
将这有限个开区间的所有端点按大小顺序排列, 去掉其中可能重复的点, 记为
\begin\{aligned\} x\_0 < x\_1 < \cdots < x\_N. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
并设这个端点集为 $\displaystyle A=\left\\{x\_0,\cdots,x\_N\right\\}$. 令
\begin\{aligned\} \delta=\min\left\\{x\_1-x\_0,x\_2-x\_1,\cdots,x\_N-x\_\{N-1\}\right\\}, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
往证此 $\displaystyle \delta$ 即为所求. 对 $\displaystyle \forall\ x',x''\in [a,b]$, $\displaystyle 0 < x''-x' < \delta$, (1-1)、 若 $\displaystyle [x',x'']$ 内没有端点集 $\displaystyle A$ 中的点, 则 $\displaystyle [x',x'']$ 被 $\displaystyle I\_1,\cdots,I\_n$ 中的某一个覆盖. (1-2)、 若 $\displaystyle [x',x'']$ 内有 $\displaystyle A$ 中的点, 则由 $\displaystyle \delta$ 的定义及 $\displaystyle |x''-x'| < \delta$ 知这样的点只有一个, 记为 $\displaystyle x\_i$, 而 $\displaystyle x'\leq x\_i\leq x''$. 由于 $\displaystyle x\_i$ 是 $\displaystyle I\_1,\cdots,I\_n$ 中某个 $\displaystyle I\_j$ 的端点, 而定有另外一个开区间 $\displaystyle I\_k$ 盖住了 $\displaystyle x\_i$. 既然 $\displaystyle [x,x'']$ 只含有 $\displaystyle A$ 中的 $\displaystyle x\_i$, 而 $\displaystyle I\_k$ 的左右端点必然分别小于 $\displaystyle x'$ 和大于 $\displaystyle x''$, 从而 $\displaystyle I\_k\ni x',x''$. (2)、 回到题目. 一言以蔽之, 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性. 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, 则 $\displaystyle \forall\ x\in[a,b]$,
\begin\{aligned\} \exists\ \delta\_x > 0,\mathrm\{ s.t.\}\forall\ x',x''\in U(x;\delta\_x)\cap [a,b], |f(x')-f(x'')| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由 $\displaystyle [a,b]\subset\bigcup\_\{x\in [a,b]\}U\left(x;\delta\_x\right)$ 及第 1 步知 $\displaystyle \exists\ \delta > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x',x''\in [a,b]$,
\begin\{aligned\} \exists\ x\in [a,b],\mathrm\{ s.t.\} x',x''\in U(x;\delta\_x) \Rightarrow |f(x')-f(x'')| < \varepsilon. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上一致连续.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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15、 4、 (本题 10 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上仅有第一类间断点, 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界. (四川大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由题设, $\displaystyle \forall\ x\in [a,b], f(x+0), f(x-0)$ 都存在 (端点处紧考虑单侧极限). 由函数极限的定义知
\begin\{aligned\} \exists\ \delta\_x > 0,\mathrm\{ s.t.\} \left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}\forall\ x'\in (x-\delta\_x,x), |f(x')-f(x-0)| < 1,\\\\ \forall\ x'\in (x,x+\delta\_x), |f(x)-f(x+0)| < 1.\end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
设 $\displaystyle M\_x=\max\left\\{|f(x-0)|+1, |f(x+0)|+1, |f(x)|\right\\}$, 则
\begin\{aligned\} \forall\ x'\in U(x;\delta\_x), |f(x')|\leq M\_x. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
又由 $\displaystyle [a,b]\subset \bigcup\_\{x\in [a,b]\}U(x;\delta\_x)$ 及有限覆盖定理知
\begin\{aligned\} \left\[a,b\right\]\subset \bigcup\_\{i=1\}^m U(x\_i;\delta\_\{x\_i\}). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
令 $\displaystyle M=\max\_\{1\leq i\leq m\}M\_\{x\_i\}$, 则
\begin\{aligned\} x\in [a,b]\Rightarrow&\exists\ i,\mathrm\{ s.t.\} x\in U(x\_i;\delta\_\{x\_i)\}\Rightarrow |f(x)|\leq M\_\{x\_i\}\leq M. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
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16、 3、 (15 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有定义, 且对任意的 $\displaystyle x\in [a,b]$, 存在 $\displaystyle \delta\_x > 0$, 使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [x-\delta\_x,x+\delta\_x]\cap [a,b]$ 上递增. 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上递增. (西南大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 我们先给出加强形式的覆盖定理. 如果 $\displaystyle \left\\{I\_\alpha\right\\}$ 是区间 $\displaystyle [a,b]$ 的一个开覆盖, 则
\begin\{aligned\} \exists\ \delta > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x',x''\in [a,b], \exists\ I\_\beta\in\left\\{I\_\alpha\right\\},\mathrm\{ s.t.\} x',x''\in I\_\beta. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这个数 $\displaystyle \delta$ 称为开覆盖的 Lebesgue 数. 事实上, 由 $\displaystyle [a,b]\subset \bigcup\_\alpha I\_\alpha$ 及有限覆盖定理知
\begin\{aligned\} \left\[a,b\right\]\subset I\_1\cup \cdots \cup I\_n\left(I\_i=I\_\{\alpha\_i\}\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
将这有限个开区间的所有端点按大小顺序排列, 去掉其中可能重复的点, 记为
\begin\{aligned\} x\_0 < x\_1 < \cdots < x\_N. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
并设这个端点集为 $\displaystyle A=\left\\{x\_0,\cdots,x\_N\right\\}$. 令
\begin\{aligned\} \delta=\min\left\\{x\_1-x\_0,x\_2-x\_1,\cdots,x\_N-x\_\{N-1\}\right\\}, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
往证此 $\displaystyle \delta$ 即为所求. 对 $\displaystyle \forall\ x',x''\in [a,b]$, $\displaystyle 0 < x''-x' < \delta$, (1-1)、 若 $\displaystyle [x',x'']$ 内没有端点集 $\displaystyle A$ 中的点, 则 $\displaystyle [x',x'']$ 被 $\displaystyle I\_1,\cdots,I\_n$ 中的某一个覆盖. (1-2)、 若 $\displaystyle [x',x'']$ 内有 $\displaystyle A$ 中的点, 则由 $\displaystyle \delta$ 的定义及 $\displaystyle |x''-x'| < \delta$ 知这样的点只有一个, 记为 $\displaystyle x\_i$, 而 $\displaystyle x'\leq x\_i\leq x''$. 由于 $\displaystyle x\_i$ 是 $\displaystyle I\_1,\cdots,I\_n$ 中某个 $\displaystyle I\_j$ 的端点, 而定有另外一个开区间 $\displaystyle I\_k$ 盖住了 $\displaystyle x\_i$. 既然 $\displaystyle [x,x'']$ 只含有 $\displaystyle A$ 中的 $\displaystyle x\_i$, 而 $\displaystyle I\_k$ 的左右端点必然分别小于 $\displaystyle x'$ 和大于 $\displaystyle x''$, 从而 $\displaystyle I\_k\ni x',x''$. (2)、 回到题目. 对 $\displaystyle \forall\ a\leq c < d\leq b$, 由 $\displaystyle [c,d]\subset \bigcup\_\{x\in [c,d]\}(x-\delta\_x,x+\delta\_x)$ 及第 1 步知
\begin\{aligned\} &\exists\ \delta > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ x',x''\in [c,d], x' < x'', \exists\ x\in [c,d],\mathrm\{ s.t.\} \\\\ &x',x''\in (x-\delta\_x,x+\delta\_x)\Rightarrow f(x')\leq f(x''). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
取 $\displaystyle n\in\mathbb\{Z\}\_+$ 使得 $\displaystyle \frac\{d-c\}\{n\} < \delta$, 并将 $\displaystyle [c,d]$ $\displaystyle n$ 等分, 记分点为
\begin\{aligned\} c=x\_0 < x\_1 < \cdots < x\_n < d, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
则由 $\displaystyle x\_i-x\_\{i-1\}=\frac\{d-c\}\{n\} < \delta$ 知
\begin\{aligned\} f(c)=f(x\_0)\leq f(x\_1)\leq \cdots\leq f(x\_n)=f(d). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上递增.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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17、 6、 叙述非空数集 $\displaystyle E$ 的下确界定义, 并证明: 若 $\displaystyle E$ 为有界非空数集, 实数 $\displaystyle \alpha=\inf E$ ($E$ 的下确界), 且 $\displaystyle \alpha\not\in E$, 则在 $\displaystyle E$ 中可选取严格单调递减数列 $\displaystyle \left\\{x\_n\right\\}$, 使得 $\displaystyle \lim\_\{n\to\infty\}x\_n=\alpha$. (湘潭大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 一言以蔽之, 下确界不属于集合时, 可严格递减逼近. (1)、 由 $\displaystyle \alpha=\inf E\not E$ 知 $\displaystyle \forall\ x\in E, x > \alpha$. (2)、 任取 $\displaystyle x\_1\in E$. 若 $\displaystyle x\_k (k\geq 1)$ 已给定, 则取 $\displaystyle \delta=\min\left\\{x\_k-\alpha,\frac\{1\}\{k\}\right\\}$, 则
\begin\{aligned\} \exists\ x\_\{k+1\}\in E,\mathrm\{ s.t.\} \alpha < x\_\{k+1\} < \alpha+\delta\Rightarrow x\_\{k+1\} < x\_k, \alpha < x\_\{k+1\} < \alpha+\frac\{1\}\{k\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
故 $\displaystyle x\_k\mbox\{严\}\searrow , \to \alpha$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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18、 1、 (15 分)设 $\displaystyle f$ 是定义在集合 $\displaystyle I$ 上的实值函数. (1)、 (5 分) 叙述 $\displaystyle f$ 在集合 $\displaystyle I$ 上有上确界的定义; (2)、 (10 分) 设 $\displaystyle f$ 在集合 $\displaystyle I$ 上有界, 记 $\displaystyle M=\sup\_\{x\in I\}f(x), m=\inf\_\{x\in I\}f(x)$. 证明:
\begin\{aligned\} \sup\_\{x',x''\in I\}|f(x')-f(x'')|=M-m. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(新疆大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 $\displaystyle M=\sup\_I f$ 当且仅当 $\displaystyle \forall\ x\in I, f(x)\leq M; \forall\ \varepsilon > 0,\exists\ x\in I,\mathrm\{ s.t.\} f(x) > M-\varepsilon$. (2)、 若 $\displaystyle M=m$, 则 $\displaystyle f$ 为常值函数, 结论自明. 若 $\displaystyle M > m$, 则 (2-1)、 先证 $\displaystyle M-m$ 是上界. 由 \begin\{aligned\} m=\inf\_I f\leq f(x)\leq \sup\_I f=M,\quad \forall\ x\in I \qquad(ch1z16: 1)\tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
知 \begin\{aligned\} -M\leq -f(x)\leq -m,\quad \forall\ x\in I. \qquad(ch1z16: 2)\tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
在 (ch1z16: 1) 中取 $\displaystyle x=x'$, 在 (ch1z16: 2) 中取 $\displaystyle x=x''$ 后相加得
\begin\{aligned\} &m-M\leq f(x')-f(x'')\leq M-m\\\\ \Rightarrow&|f(x')-f(x'')|\leq M-m.\tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2-2)、 再证 $\displaystyle M-m$ 是最小上界.
\begin\{aligned\} 0 < \alpha < M-m&\Rightarrow \alpha+m < M=\sup\_I f\\\\ &\Rightarrow \exists\ x\_\alpha'\in I,\mathrm\{ s.t.\} f(x\_\alpha') > \alpha+m\\\\ &\Rightarrow \exists\ x\_\alpha'\in I,\mathrm\{ s.t.\} m < f(x\_\alpha')-\alpha\\\\ &\Rightarrow \exists\ x\_\alpha'\in I, x\_\alpha''\in I,\mathrm\{ s.t.\} f(x\_\alpha'') < f(x\_\alpha')-\alpha\\\\ &\Rightarrow \exists\ x\_\alpha'\in I, x\_\alpha''\in I,\mathrm\{ s.t.\} f(x\_\alpha')-f(x\_\alpha'') > \alpha > 0\\\\ &\Rightarrow \exists\ x\_\alpha'\in I, x\_\alpha''\in I,\mathrm\{ s.t.\} |f(x\_\alpha')-f(x\_\alpha'')| > \alpha.\tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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19、 3、 (15 分) 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, 证明: $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界. (新疆大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 对 $\displaystyle \forall\ x\in [a,b]$, 由 $\displaystyle \lim\_\{t\to x\}f(t)=f(x)$ 及函数极限的局部保号性知
\begin\{aligned\} \exists\ M\_x > 0, \exists\ \delta\_x > 0,\mathrm\{ s.t.\} \forall\ t\in U(x;\delta\_x)\cap [a,b], |f(t)|\leq M\_x. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由 $\displaystyle [a,b]\subset \bigcup\_\{x\in [a,b]\}U(x;\delta\_x)$ 及有限覆盖定理知
\begin\{aligned\} [a,b]\subset \bigcup\_\{i=1\}^m U(x\_i;\delta\_\{x\_i\}). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
令 $\displaystyle M=\max\_\{1\leq i\leq m\}M\_\{x\_i\}$, 则
\begin\{aligned\} x\in [a,b]&\Rightarrow \exists\ 1\leq i\leq m,\mathrm\{ s.t.\} x\in U(x\_i; \delta\_\{x\_i\}) \Rightarrow |f(x)|\leq M\_\{x\_i\}\leq M. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上有界 $\displaystyle M$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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20、 9、 (20 分) 叙述闭区间套定理, 并应用其证明连续函数的零点存在定理. (云南大学2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / (1)、 闭区间套定理. 设 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]\subset [a\_n,b\_n], \lim\_\{n\to\infty\}(b\_n-a\_n)=0$, 则
\begin\{aligned\} \exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=1\}^\infty [a\_n,b\_n]. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续, $\displaystyle f(a)f(b) < 0$. 令 $\displaystyle [a\_0,b\_0]=[a,b]$. 将 $\displaystyle [a\_0,b\_0]$ 二等分, 则 $\displaystyle f(a)f\left(\frac\{a+b\}\{2\}\right)\leq 0$ 或 $\displaystyle f(b)f\left(\frac\{a+b\}\{2\}\right)\leq 0$. 若前一情形成立, 则取 $\displaystyle [a\_1,b\_1]=\left\[a,\frac\{a+b\}\{2\}\right\]$; 如后一情形成立, 则取 $\displaystyle [a\_1,b\_1]=\left\[\frac\{a+b\}\{2\},b\right\]$. 若 $\displaystyle [a\_n,b\_n]\ (n\geq 1)$ 以取得, 满足 $\displaystyle f(a\_n)f(b\_n)\leq 0$, 则将 $\displaystyle [a\_n,b\_n]$ 二等分. 我们有
\begin\{aligned\} f(a\_n)f\left(\frac\{a\_n+b\_n\}\{2\}\right)\leq 0\mbox\{或\} f(b\_n)f\left(\frac\{a\_n+b\_n\}\{2\}\right)\leq 0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
若前一情形成立, 则取 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]=\left\[a\_n,\frac\{a\_n+b\_n\}\{2\}\right\]$; 如后一情形成立, 则取 $\displaystyle [a\_\{n+1\},b\_\{n+1\}]=\left\[\frac\{a\_n+b\_n\}\{2\},b\_n\right\]$. 如此得到闭区间套
\begin\{aligned\} \left\\{[a\_n,b\_n]\right\\}: b\_n-a\_n=\frac\{1\}\{2^n\}(b-a)\xrightarrow\{n\to\infty\}0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
由闭区间套定理知
\begin\{aligned\} &\exists\ |\ \xi\in \bigcap\_\{n=1\}^\infty [a\_n,b\_n] \Rightarrow \lim\_\{n\to\infty\}a\_n=\xi=\lim\_\{n\to\infty\}b\_n\\\\ \Rightarrow& [f(\xi)]^2=\lim\_\{n\to\infty\}f(a\_n)\cdot \lim\_\{n\to\infty\}f(b\_n) =\lim\_\{n\to\infty\}[f(a\_n)f(b\_n]\leq 0\Rightarrow f(\xi)=0. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这就证明了零点存在定理.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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21、 4、 叙述实数的确界原理及有限覆盖定理, 并用确界原理证明有限覆盖定理. (中国矿业大学(徐州)2023年数学分析考研试题) [实数理论 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 确界原理: 数轴上任意非空有上界集合有上确界. 有限覆盖定理: $\displaystyle [a,b]$ 的任一开覆盖都有有限子覆盖. 往用确界原理证明有限覆盖定理. 设 $\displaystyle \left\\{O\_\alpha\right\\}$ 是 $\displaystyle [a,b]$ 的一个开覆盖. 设
\begin\{aligned\} A=\left\\{x\in [a,b]; [a,x]\mbox\{在 $\displaystyle \left\\{O\_\alpha\right\\}$ 中存在有限子覆盖\}\right\\}, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
则由 $\displaystyle a\in [a,b]\subset\bigcup\_\alpha O\_\alpha$ 知
\begin\{aligned\} \exists\ \alpha,\mathrm\{ s.t.\} a\in O\_\alpha\Rightarrow \exists\ \delta\in (0,b-a),\mathrm\{ s.t.\} [a,a+\delta)\subset O\_\alpha. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
于是 $\displaystyle [a,a+\delta)\subset A\Rightarrow A\neq \varnothing$, 且 $\displaystyle A$ 有上界 $\displaystyle b$. 由确界原理知 $\displaystyle \xi=\sup A$ 存在, 且 $\displaystyle a+\delta\leq \xi\leq b$. (1)、 先证 $\displaystyle [a,\xi)\subset A$. 事实上, 对 $\displaystyle \forall\ x\in [a,\xi)$,
\begin\{aligned\} &x < \xi=\sup A\Rightarrow \exists\ y\in A,\mathrm\{ s.t.\} x < y\\\\ \Rightarrow&x\in [a,y]\mbox\{在 $\displaystyle \left\\{O\_\alpha\right\\}$ 中存在有限子覆盖\}\\\\ \Rightarrow& [a,x]\mbox\{在 $\displaystyle \left\\{O\_\alpha\right\\}$ 中存在有限子覆盖\}\Rightarrow x\in A . \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
(2)、 再者 $\displaystyle \xi\in A$. 事实上,
\begin\{aligned\} &\xi\in [a,b]\subset\bigcup\_\alpha O\_\alpha \Rightarrow \exists\ \alpha\_0,\mathrm\{ s.t.\} \xi\in O\_\{\alpha\_0\}\\\\ \Rightarrow&\exists\ \delta\_1\in \left\\{0,\delta\right\\},\mathrm\{ s.t.\} \xi\in \left(\xi-\delta\_1,\xi+\delta\_1\right)\subset O\_\{\alpha\_0\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
又由第 1 步知 $\displaystyle \xi-\frac\{\delta\_1\}\{2\}\in A\Rightarrow \left\[a,\xi-\frac\{\delta\_1\}\{2\}\right\]$ 在 $\displaystyle \left\\{O\_\alpha\right\\}$ 中存在有限子覆盖 $\displaystyle O\_\{\alpha\_1\},\cdots, O\_\{\alpha\_m\}$, 将其并上 $\displaystyle O\_\{\alpha\_0\}$ 就成为了 $\displaystyle [a,\xi]$ 的有限子覆盖. 这就证明了 $\displaystyle \xi\in A$. (3)、 往用反证法证明 $\displaystyle A\ni \xi=b$. 若不然, $\displaystyle \xi < b$. 则在第 2 步中取 $\displaystyle \delta\_1=\left(0,\min\left\\{\delta,b-\xi\right\\}\right)$, 则 $\displaystyle \left\\{O\_\{\alpha\_i\}\right\\}\_\{i=0\}^m$ 就是 $\displaystyle \left\[a,\xi+\frac\{\delta\_1\}\{2\}\right\]$ 的有限子覆盖. 由 $\displaystyle A$ 的定义知
\begin\{aligned\} \xi+\frac\{\delta\_1\}\{2\}\in A\Rightarrow \xi+\frac\{\delta\_1\}\{2\}\leq \sup A=\xi. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
这是一个矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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22、 1、 (15 分) 计算下列极限: (1)、 $\displaystyle \lim\_\{n\to\infty\}\left(\frac\{1\}\{n+\sqrt\{1\}\}+\frac\{1\}\{n+\sqrt\{2\}\}+\cdots+\frac\{1\}\{n+\sqrt\{n\}\}\right)$; (安徽大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 由
\begin\{aligned\} \frac\{n\}\{n+\sqrt\{n\}\}=\sum\_\{k=1\}^n \frac\{1\}\{n+\sqrt\{n\}\} < \sum\_\{k=1\}^n \frac\{1\}\{n+\sqrt\{k\}\} < \sum\_\{k=1\}^n \frac\{1\}\{n\}=1 \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
及迫敛性知原式 $\displaystyle =1$.跟锦数学微信公众号. [在线资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/F-TU-uzeo3EjxI5LzjUvRw)/[公众号](
https://mp.weixin.qq.com/s/pdC49P5WZXTEpRBa0JBfow)/
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23、 (3)、 计算 $\displaystyle \lim\_\{n\to\infty\}\left(\frac\{1\}\{\sqrt\{n^2+1\}\}+\frac\{1\}\{\sqrt\{n^2+2^2\}\} +\cdots+\frac\{1\}\{\sqrt\{n^2+n^2\}\}\right)$. (北京科技大学2023年数学分析考研试题) [数列极限 ]
[纸质资料](
https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](
https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/[pdf1](
https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6\_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/[pdf2](
https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) /
\begin\{aligned\} \mbox\{原式\}&=\lim\_\{n\to\infty\}\sum\_\{k=1\}^n \frac\{1\}\{\sqrt\{n^2+k^2\}\} =\lim\_\{n\to\infty\}\frac\{1\}\{n\}\sum\_\{k=1\}^n \frac\{1\}\{\sqrt\{1+\left(\frac\{k\}\{n\}\right)^2\}\} =\int\_0^1 \frac\{\mathrm\{ d\} x\}\{\sqrt\{1+x^2\}\}\\\\ & \stackrel\{x=\tan \theta\}\{=\}\int\_0^\frac\{\pi\}\{4\}\sec \theta\mathrm\{ d\} \theta=\left.\ln (\sec\theta+\tan \theta)\right|\_0^\frac\{\pi\}\{4\} =\ln \left(\sqrt\{2\}+1\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
跟锦数学微信公众号. [在线资料](
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发表于 2023-3-5 08:34:15
