北京大学2013年数学直博考试试题

zhangzujin

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北京大学2013年数学直博考试试题

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1、 (20 分) 设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle [0,2]$ 上的上凸可导函数, 过 $\displaystyle (0,0), (1,1), (2,0)$ 点. 问 $\displaystyle f$ 与 $\displaystyle x$ 轴围成面积的下确界是多少? 该下确界能达到吗?

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2、 (20 分) 设有方程 $\displaystyle y+\sin y=x$.

(1)、 证明: 该方程在 $\displaystyle x=0$ 附近可以唯一确定 $\displaystyle y=f(x)$;

(2)、 将 $\displaystyle y$ 表示为 $\displaystyle y=a_0+a_1x+a_2x^2+o(x^2)$.

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3、 (20 分) 构造定义在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的函数 $\displaystyle f$, 满足 $\displaystyle f$ 只在其中一点可导, 在其它个点都不连续.

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4、 (20 分) 讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^{[\sqrt{n}]}}$ 的收敛性.

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5、 (35 分) 函数 $\displaystyle f_n(x)$ 定义在 $\displaystyle [0,2]$ 上, 满足

$$\begin{aligned} f_n(x) = \sqrt{\frac{1}{n^2} -\left(x-\frac{2k-1}{n}\right)^2},&x\in \left[\frac{2k-2}{n},\frac{2k}{n}\right), 1\leq k\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)、 求 $\displaystyle f_n$ 的弧长 $\displaystyle l_n$;

(2)、 求证: $\displaystyle f_n$ 一致收敛于某 $\displaystyle f$;

(3)、 求 $\displaystyle f$ 的弧长 $\displaystyle l$;

(4)、 $\displaystyle l_n$ 收敛于 $\displaystyle l$ 吗? 解释原因.

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6、 (35 分) 定义函数 $\displaystyle f: [0,1]\to [0,1]$ 如下:

$$\begin{aligned} f(x)=0.0a_10a_20a_3\cdots, x=0.a_1a_2a_3\cdots. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

这里 $\displaystyle x\in [0,1]$ 都表示无限小数 (比如 $\displaystyle 0.1=0.0\dot{9}$). 请自由探索 $\displaystyle f$ 的性质.

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7、 (25 分)

(1)、 $\displaystyle x^6+x^3+1$ 在有理数域上是否可约, 给出详细理由.

(2)、 如果 $\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle x^6+x^3+1=0$ 的根, 求多项式 $\displaystyle f(x)$, 满足 $\displaystyle \deg(f) < 6$, 且 $\displaystyle \alpha^8+\alpha^5=f(\alpha)$.

(3)、 (2) 中所求 $\displaystyle f(x)$ 唯一吗? 为什么?

(4)、 求多项式 $\displaystyle g(x)$, 满足 $\displaystyle g(\alpha)=\frac{1}{\alpha^8+\alpha^5}$, 其中 $\displaystyle g(x)$ 是有理多项式.

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8、 (25 分)

(1)、 设 $\displaystyle A,B$ 是半正定矩阵. 证明:

$$\begin{aligned} |A+B|\geq |A|, |A+B|\geq |B|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 设 $\displaystyle A$ 是正定矩阵, $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle A$ 第 $\displaystyle i_1,\cdots,i_s$ 行和第 $\displaystyle i_1,\cdots,i_s$ 列的构成的主子式, $\displaystyle M$ 是 $\displaystyle D$ 的代数余子式. 证明: $\displaystyle |A|\leq DM$.

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9、 (25 分) 设 $\displaystyle \mathrm{e}^A=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}$, 证明: $\displaystyle \mathrm{e}^{|A|} =\mathrm{e}^{\mathrm{tr} A}$.

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10、 (25 分) $\displaystyle n$ 维空间至多有多少个两两成钝角的向量?

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11、 (30 分) 已知双叶双曲面 $\displaystyle x^2+y^2-z^2=-1$ 的一支 $\displaystyle z > 0$, $\displaystyle M$ 与是与该双曲线相交于封闭曲线的任意平面, $\displaystyle M_0$ 是与 $\displaystyle M$ 平行的一族平面, 证明 $\displaystyle M_0$ 与 $\displaystyle x^2+y^2-z^2=-1\ (z > 0)$ 相交的都是椭圆, 且椭圆的中心在 $\displaystyle xOy$ 平面上的投影都在 $\displaystyle x$ 轴上. (这题题目记不清楚了, 可能不对)

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12、 (20 分) 平面上直线 $\displaystyle AA',BB',CC'$ 平行, $\displaystyle AB$ 和 $\displaystyle A'B'$ 交于点 $\displaystyle D$, $\displaystyle BC$ 与 $\displaystyle B'C'$ 交于点 $\displaystyle E$, $\displaystyle CA$ 与 $\displaystyle C'A'$ 交于点 $\displaystyle F$. 证明: $\displaystyle D,E,F$ 共线.