张祖锦考研竞赛答疑

zhangzujin

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• 00001

  用 $\displaystyle \varepsilon-N$ 语言证明 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\mathrm{ d} x=0$ .

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• 00002

  设 $\displaystyle F(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的单调递减函数, $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}F(x)=0$ , 且

  $$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^{+\infty} F(t)\sin\frac{t}{n}\mathrm{ d} t=0. \end{aligned}$$

  证明: (1) $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xF(x)=0$ , (2) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\int_0^{+\infty} F(t)\sin (xt)\mathrm{ d} t=0$ .

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• 00003

  求 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{\ln x}\left[(x+3)^\frac{1}{x}-x^\frac{1}{x+3}\right]$ .

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• 00004

  若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微, $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0$ , 求证: 存在 $\displaystyle (0,+\infty)\ni \xi_n\mbox{严}\nearrow +\infty$ , 使得 $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}f'(\xi_n)=0$ .

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• 00005

  设 $\displaystyle K\subset \mathbb{R}^n$ 是有界闭集, $\displaystyle \left\{B_k\right\}$ 是 $\displaystyle K$ 的开球覆盖.\ (1) 证明存在 $\displaystyle \varepsilon\gt 0$ , 使得以 $\displaystyle K$ 中任一点为中心, $\displaystyle \varepsilon$ 为半径的球必含于 $\displaystyle \left\{B_k\right\}$ 中的一个. (2) 证明 $\displaystyle K$ 可被 $\displaystyle \left\{B_k\right\}$ 中的有限多个覆盖. 这就是有限覆盖定理.

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