北京大学2016年数学直博考试试题

zhangzujin

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北京大学2016年数学直博考试试题

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1、 证明题 (30 分, 每小题 15 分).

(1)、 若 $\displaystyle f(x)$ 在实轴上可导且 $\displaystyle f'(x) > f(x), \forall\ x\in(-\infty,+\infty)$, 则 $\displaystyle f(x)$ 至多有一个零点.

(2)、 若 $\displaystyle f(x)$ 处处二阶可导且 $\displaystyle f''(x) > f(x), \forall\ x\in(-\infty,+\infty)$, 则 $\displaystyle f(x)$ 至多有两个零点.

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2、 (30 分) 假设 $\displaystyle \phi(x,y,z)$ 是原点 $\displaystyle O$ 某个邻域上 $\displaystyle C^\infty$ 函数, 且 $\displaystyle \phi,\phi_x,\phi_y, \phi_{xz}, \phi_{yz}$ 在 $\displaystyle O$ 点为 $\displaystyle 0$, $\displaystyle \phi_{xx}, \phi_{yy}$ 在 $\displaystyle O$ 点为$1$, $\displaystyle \phi_{xy}(O)=\frac{1}{2}, \phi_z(O)=-\frac{1}{2}, \phi(x,,z)=0$ 的隐函数记为 $\displaystyle z=z(x,y)$ (已知 $\displaystyle z(0,0)=0$). 请讨论 $\displaystyle z=z(x,y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点附近的极值问题.

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3、 (40 分) 设 $\displaystyle z=z(x,y)$ 是题 2 中的隐函数, $\displaystyle \varOmega_\delta$ 是 $\displaystyle (0,0)$ 点的 $\displaystyle \delta$ 邻域, 当 $\displaystyle \delta$ 充分小时, 证明如下极限存在并求之:

$$\begin{aligned} \lim_{t\to+\infty}t\iint_{\varOmega_\delta}\mathrm{e}^{-t z(x,y)}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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4、 (20 分) 设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle 2$ 阶复方阵, 考虑 $\displaystyle 2$ 阶复方阵的线性空间 $\displaystyle M_2(\mathbb{C})$ 上的线性变换

$$\begin{aligned} \phi_A: M_2(\mathbb{C})\to M_2(\mathbb{C}): X\mapsto AX-XA . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试确定 $\displaystyle \dim \ker \phi_A$ 的所有可能的取值.

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5、 (30 分) 对于有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的两个 $\displaystyle n$ 阶方阵

$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccc}0&1&\cdots&1\\\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\\\ 0&\cdots&0&0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccccccccc}0&0&\cdots&0\\\\ 1&\ddots&\ddots&\vdots\\\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\\\ 1&\cdots&1&0\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

试证明两者是相似的, 并求出一个矩阵 $\displaystyle T$, 使得 $\displaystyle A=T^{-1}BT$.

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6、 (20 分) $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 中多项式 $\displaystyle f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2 +a_3x+a_4$. 试用系数 $\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4$ 的关系式, 给出 $\displaystyle f(x)$ 能表示成某个不可约二次多项式 $\displaystyle g(x)$ 之平方的充分必要条件.

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7、 (30 分) 欧氏平面上保定向的等距变换群的一个子群 $\displaystyle G$, 其中每一个非恒同的变换 $\displaystyle g$ 都没有不动点, 而且每一个平面上的点 $\displaystyle p$ 在群 $\displaystyle G$ 作用下得到的轨道 (即点集 $\displaystyle \{g(p); g\in G\}$) 若平面上没有聚点. 试证明 $\displaystyle G$ 可以由一个或两个平移变换生成, 即

$$\begin{aligned} G=\left\{n\alpha; n\in\mathbb{Z}\right\}\mbox{或} G=\left\{n\alpha +m \beta; n,m\in\mathbb{Z}\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \mathbb{Z}$ 为整数集, $\displaystyle n,m$ 为任意正数, $\displaystyle \alpha,\beta$ 为线性无关的平移向量 (也表示其对应的平移变换), $\displaystyle n\alpha+m\beta$ 即对应线性组合表示的平移.