中国科学院大学2023年直博考试试题参考解答

zhangzujin

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考生须知

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1、 本试卷满分为 150 分, 全部考试时间总计 180 分钟.

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2、 所有答案必须写在答题纸上, 写在试题纸上或草稿纸上一律无效.

试题

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1、 (20 分)

(1)、 设 $\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}0,&x^2+y^2=0,\\\\ xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, &x^2+y^2\neq 0.\end{array}\right.$ 等式 $\displaystyle \frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y\partial x}$ 是否成立? fl: 多元函数微分学

(2)、 设 $\displaystyle f(x,y)$ 在 $\displaystyle 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1$ 上定义为

$$\begin{aligned} f(x,y)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}0,&x^2+y^2=0,\\\\ \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, &x^2+y^2\neq 0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

分别求 $\displaystyle \int_0^1 \mathrm{ d} x\int_0^1 f(x,y)\mathrm{ d} y$ 和 $\displaystyle \int_0^1 \mathrm{ d} y\int_0^1 f(x,y)\mathrm{ d} x$, 并说明从该计算结果得出什么结论? fl: 重积分

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2、 (20 分) 计算下列 $\displaystyle n+1$ 阶行列式

$$\begin{aligned} D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccccccc}s_0&s_1&s_2&\cdots&s_{n-1}&1\\\\ s_1&s_2&s_3&\cdots&s_n&x\\\\ s_2&s_3&s_4&\cdots&s_{n+1}&x^2\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ s_n&s_{n+1}&s_{n+2}&\cdots&s_{2n-1}&x^n\end{array}\right|, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k$. fl: 行列式

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3、 (20 分) 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上二阶可导, 且 $\displaystyle f''(x) > 0$. 证明:

(1)、 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{ d} x$;

(2)、 若 $\displaystyle f(x)\leq 0, x\in [a,b]$, 则有 $\displaystyle f(x)\geq \frac{2}{b-a}\int_a^b f(t)\mathrm{ d} t$.

fl: 积分法与不等式

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4、 (20 分) 设 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为欧氏空间 $\displaystyle V$ 的一组标准正交基, $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换, 并且

$$\begin{aligned} \sigma(\alpha_1)=\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3, \sigma(\alpha_2)=-\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3, \sigma(\alpha_3)=-\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)、 证明: $\displaystyle \sigma$ 是一个对称变换;

(2)、 求 $\displaystyle V$ 的另一组标准正交基, 使得 $\displaystyle \sigma$ 在这一组基下的矩阵为对角形矩阵.

fl: 矩阵

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5、 (20 分) 设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_n(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$, 而 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续. 证明: 函数列 $\displaystyle \left\{g\left(f_n(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g\left(f(x)\right)$. fl: 函数项级数

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6、 (20 分)

(1)、 设实函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可微, 并且满足条件:

$$\begin{aligned} f(0)=0;\quad |f'(x)|\leq K|f(x)|, x\in [0,1], \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle K$ 为常数. 证明: $\displaystyle f(x)=0$; fl: 微分法与不等式

(2)、 设整系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$. 已知 $\displaystyle f(0)$ 和 $\displaystyle f(1)$ 均为奇数. 证明: $\displaystyle f(x)$ 没有整数根. fl: 多项式

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7、 (15 分) 计算下列四重积分

$$\begin{aligned} \int_{Q(x)\leq 1}\mathrm{e}^{Q(x)}\mathrm{ d} x_1\mathrm{ d} x_2\mathrm{ d} x_3\mathrm{ d} x_4, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle Q(x)=\sum_{i,j=1}^4 a_{ij}x_ix_j$ 是实的正定二次型. fl: 重积分

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8、 (15 分) 设 $\displaystyle \sigma$ 是域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上有限维线性空间 $\displaystyle V$ 上的一个线性变换 (又称线性算子). 证明: 如果 $\displaystyle \sigma$ 的最小多项式 (又称最小多项式) $\displaystyle \mu_\sigma(t)$ 是不可约的 (又称既约的), 那么多项式环 $\displaystyle \mathbb{K}[\sigma]$ 是一个域. fl: 线性空间与线性变换