张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第50天
1128、 6、 设 $\displaystyle A=(a_{ij})_{3\times 3}$ 是一个 $\displaystyle 3$ 阶实对称矩阵, 若 $\displaystyle A$ 的迹
$$\begin{aligned} \mathrm{tr} A=a_{11}+a_{22}+a_{33}=0, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且向量 $\displaystyle \alpha_1=(1,1,1)^\mathrm{T}$ 与 $\displaystyle \alpha_2=(1,1,-1)^\mathrm{T}$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1$ 的特征向量. 求矩阵 $\displaystyle A$. (湖南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle A\sim \mathrm{diag}(1,1,\lambda)$. 进而 $\displaystyle 0=\mathrm{tr} A=2+\lambda\Rightarrow \lambda=-2$. 设 $\displaystyle x$ 为 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle -2$ 的特征向量, 则
$$\begin{aligned} \alpha_i^\mathrm{T} x=0, i=1,2\Rightarrow x=k(-1,1,0)^\mathrm{T}, k\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故取
$$\begin{aligned} &\alpha_3=(-1,1,0)^\mathrm{T}, P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&-1\\\\ 1&1&1\\\\ 1&-1&0\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,-2)\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&0\\\\ \frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&0\\\\ 0&0&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1129、 7、 设 $\displaystyle A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 按递归方式定义 $\displaystyle A$ 的 $\displaystyle m$ 重伴随矩阵 $\displaystyle A^{(m\star)}$ 如下:
$$\begin{aligned} A^{(0\star)}=A, A^{(1\star)}=A^\star, A^{(2\star)}=A^{\star\star}, \cdots, A^{(m\star)}=\left(A^{\left((m-1)\star\right)}\right)^\star, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即 $\displaystyle A^{(m\star)}=\underbrace{\left(\cdots \left(\left(A^\star\right)^\star\right)\cdots\right)^\star}_{m\mbox{重}}$. 证明: (1)、 $\displaystyle A^{\star\star}=|A|^{n-2}A$; (2)、
$$\begin{aligned} A^{(m\star)}=\left\{\begin{array}{llllllllllll}|A|^\frac{(n-1)^m-1}{n}A,&\mbox{当 $\displaystyle m$ 为偶数},\\\\ |A|^\frac{(n-1)^m-n+1}{n}A^\star,&\mbox{当 $\displaystyle m$ 为奇数}.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(湖南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 当 $\displaystyle n=2$ 时, 直接验证知 $\displaystyle A^{\star\star}=A=|A|^{n-2}A$. 当 $\displaystyle n\geq 3$ 时, 若 $\displaystyle A$ 可逆, 则
$$\begin{aligned} AA^\star=|A|E\Rightarrow |A|\cdot |A^\star|=|A|^n \Rightarrow |A^\star|=|A|^{n-1}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且由公式 $\displaystyle B^\star=|B| B^{-1}$ 知
$$\begin{aligned} (A^\star)^\star=&|A^\star|(A^\star)^{-1}=|A|^{n-1}(|A|A^{-1})^{-1}\\\\ =&|A|^{n-1}|A|^{-1}(A^{-1})^{-1} =|A|^{n-2}A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle A$ 不可逆,
$$\begin{aligned} |A|=0&\Rightarrow \mathrm{rank}(A^\star)\leq 1\left(\leq n-2\right)\\\\ &\Rightarrow (A^\star)^\star=0=|A|^{n-2}A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 用数学归纳法证明
$$\begin{aligned} A^{(2k\star)}=|A|^\frac{(n-1)^{2k}-1}{n}A.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
当 $\displaystyle k=1$ 时, 由第 1 步知结论成立. 设结论对 $\displaystyle k$ 成立, 则
$$\begin{aligned} A^{(2(k+1)\star)}=&\left[A^{(2k\star)}\right]^{\star\star} \xlongequal{\tiny\mbox{归纳假设}} \left(|A|^\frac{(n-1)^{2k}-1}{n}A\right)^{\star\star}\\\\ \overset{\tiny\mbox{第1步}}{=}&\left||A|^\frac{(n-1)^{2k}-1}{n}A\right|^{n-2}\cdot |A|^\frac{(n-1)^{2k}-1}{n}A\\\\ =&\left(|A|^{(n-1)^{2k}-1}|A|\right)^{n-2}|A|^\frac{(n-1)^{2k}-1}{n}A\\\\ =&|A|^{(n-1)^{2k}(n-2)+\frac{(n-1)^{2k}-1}{n}}A\\\\ =&|A|^\frac{(n-1)^{2k}[n(n-2)+1]-1}{n}A =|A|^\frac{(n-1)^{2(k+1)}-1}{n}A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
归纳步证毕, 而确有 $\displaystyle (I)$ 成立. 也用数学归纳法证明
$$\begin{aligned} |A|^{((2k-1)\star)}=|A|^\frac{(n-1)^{2k-1}-n+1}{n}A^\star.\qquad(II) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
当 $\displaystyle k=1$ 时结论自明. 设结论对 $\displaystyle k$ 成立, 则
$$\begin{aligned} &|A|^{((2k+1)\star)} =\left(|A|^{((2k-1)\star)}\right)^{\star\star} \xlongequal{\tiny\mbox{归纳假设}} \left(|A|^\frac{(n-1)^{2k-1}-n+1}{n}A^\star\right)^{\star\star}\\\\ \overset{\tiny\mbox{第1步}}{=}&\left||A|^\frac{(n-1)^{2k-1}-n+1}{n}A^\star\right|^{n-2}\cdot |A|^\frac{(n-1)^{2k-1}-n+1}{n}A^\star\\\\ =&\left(|A|^{(n-1)^{2k-1}-n+1}|A^\star|\right)^{n-2}\cdot |A|^\frac{(n-1)^{2k-1}-n+1}{n}A^\star\\\\ =&\left(|A|^{(n-1)^{2k-1}-n+1}|A|^{n-1}\right)^{n-2}\cdot |A|^\frac{(n-1)^{2k-1}-n+1}{n}A^\star. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} &\left[(n-1)^{2k-1}-n+1+n-1\right] (n-2)+\frac{(n-1)^{2k-1}-n+1}{n}\\\\ =&(n-1)^{2k-1}(n-2)+\frac{(n-1)^{2k-1}-n+1}{n}\\\\ =&\frac{(n-1)^{2k-1}[n(n-2)+1]-n+1}{n} =\frac{(n-1)^{2k1}-n+1}{n} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知归纳步证毕, 而 $\displaystyle (II)$ 确实成立.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1130、 (8)、 若方阵 $\displaystyle A$ 的初等因子组为
$$\begin{aligned} \lambda,\lambda,\lambda^2, \lambda+1, (\lambda+1)^2,(\lambda-1)^2, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A$ 的极小多项式为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华东师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$ 的极小多项式就是 $\displaystyle A$ 的最后一个不变因子 $\displaystyle \lambda^2(\lambda+1)^2(\lambda-1)^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1131、 (9)、 实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-2&0\\\\ -2&1&-2\\\\ 0&-2&0\end{array}\right)$ 可通过正交相似变换化为对角阵 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华东师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 4,1,-2$, 而 $\displaystyle A\sim \mathrm{diag}(4,1,-2)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1132、 (4)、 证明对任何可逆复矩阵 $\displaystyle A\in GL_n(\mathbb{C})$ 以及任意正整数 $\displaystyle k$, 矩阵方程 $\displaystyle X^k=A$ 一定有解. (华东师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \lambda$ 是非零复数, $\displaystyle k$ 为正整数, $\displaystyle J_n(\lambda)$ 表示特征值为 $\displaystyle \lambda$ 的 $\displaystyle n$ 阶若当块. (4-1)、 令
$$\begin{aligned} C=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0&1&&\\\\ &\ddots&\ddots&\\\\ &&\ddots&1\\\\ &&&0\end{array}\right)_n, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} (J_n(\lambda))^k&=(\lambda E_n+C)^k\\\\ &=\lambda^k I_n+C_k^1 \lambda^{k-1} C +C^2 \lambda^{k-2}C^2 +\cdots\\\\ &\quad +C_k^{\min\left\{k,n-1\right\}}\lambda^{k-\min\left\{k,n-1\right\}} C^{\min\left\{k,n-1\right\}}\\\\ &=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \lambda^k&k \lambda^{k-1}&C_k^2 \lambda^{k-2}&\cdots&\\\\ &\lambda^k&\ddots&\ddots&\vdots\\\\ &&\ddots&\ddots&C_k^2\lambda^{k-2}\\\\ &&&\ddots&k \lambda^{k-1}\\\\ &&&&\lambda^k \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle (J_n(\lambda))^k$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda^k$, 且
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(\lambda^k I_n-(J_n(\lambda))^k)=n-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle (J_n(\lambda))^k$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(\lambda^k I_n-J)=n-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle J-\lambda^kI_n$ 的对角线上面有 $\displaystyle n-1$ 个 $\displaystyle 1$, 即
$$\begin{aligned} J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \lambda^k&1&&\\\\ &\ddots&\ddots&\\\\ &&\ddots&1\\\\ &&&\lambda^k \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4-2)、 由第 i 步, $\displaystyle (J_n(\sqrt[k]{\lambda}))^k$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle J_n(\lambda)$, 而存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}(J_n(\sqrt[k]{\lambda}))^kP=J_n(\lambda). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle B=P^{-1}J_n(\sqrt[k]{\lambda})P$, 则 $\displaystyle B^k=J_n(\lambda)$. (4-3)、 由 Jordan 标准形理论, 存在可逆阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} A=P^{-1}JP, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle J=\mathrm{diag}(J_1,\cdots,J_s)$ 是 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形, 对每一个 Jordan 块 $\displaystyle J_i$, 由第 2 步, 存在 $\displaystyle B_i$, 使得 $\displaystyle B_i^k=J_i$. 令
$$\begin{aligned} X=P^{-1}\mathrm{diag}(J_1,\cdots,J_s)P, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle X^k=A$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1133、 8、 设 $\displaystyle A,B$ 均为正交矩阵, $\displaystyle |A|=-1, |B|=1$. (1)、 证明: $\displaystyle -1$ 为 $\displaystyle A$ 的特征值; (2)、 证明: $\displaystyle |A+B|=0$. (华南理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &|-E-A|=-[-|-E-A|]=-|A^\mathrm{T}|\cdot |-E-A|\\\\ =&-|-A^\mathrm{T}-E| \stackrel{\mbox{转置}}{=}-|-E-A| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle |-E-A|=0$, 而 $\displaystyle -1$ 为 $\displaystyle A$ 的特征值. (2)、 由
$$\begin{aligned} -|A+B|=&|A^\mathrm{T}|\cdot |A+B| =|E+A^\mathrm{T} B|\\\\ =&|(B^\mathrm{T}+A^\mathrm{T})B|=|B^\mathrm{T}+A^\mathrm{T}|\cdot |B|=|A+B| \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知 $\displaystyle |A+B|=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1134、 (2)、 $\displaystyle A=(a_{ij})$ 为三阶矩阵, 其特征值为 $\displaystyle 1,-1,-\frac{1}{3}$, 则 $\displaystyle \det(3A^\star-4A^{-1})=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华南师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle |A|=\frac{1}{3}$, 而
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\left|3|A|A^{-1}-4A^{-1}\right| =|A^{-1}-4A^{-1}|=|-3A^{-1}|\\\\ =&(-3)^3|A|^{-1}=-27\cdot 3=-81. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1135、 2、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ ($n\geq 2$) 级幂零矩阵, 求下列矩阵的秩:
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A^{n-1}&A^{n-2}&\cdots&A&E\\\\ &\ddots&\ddots&&A\\\\ &&\ddots&\ddots&\vdots\\\\ &&&\ddots&A^{n-2}\\\\ &&&&A^{n-1}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(华中科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 第 $\displaystyle n$ 列 $\displaystyle \cdot (-A^{n-i})$ 加到第 $\displaystyle i$ 列, $\displaystyle 1\leq i\leq n-1$, 得
$$\begin{aligned} M\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&\cdots&0&E\\\\ 0&\cdots&0&A\\\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 0&\cdots&0&A^{n-1}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
第 $\displaystyle 1$ 行 $\displaystyle \cdot(-A^{i-1})$ 加到第 $\displaystyle i$ 行, $\displaystyle 2\leq i\leq n$ 得
$$\begin{aligned} M\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&\cdots&0&E\\\\ 0&\cdots&0&0\\\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 0&\cdots&0&0\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rank} M=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1136、 3、 (20 分) 已知矩阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^3=A^2+A+2E$, 且 $\displaystyle A$ 在实数域上不可对角化. 矩阵 $\displaystyle B=xA^2+yA+E$, 其中 $\displaystyle x,y$ 为实数. 回答下面问题: (1)、 求 $\displaystyle x,y$ 满足的关系, 使其等价于 $\displaystyle B$ 可逆; (2)、 当 $\displaystyle x=-1, y=1$ 时, 求次数最低的多项式 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle Bf(A)=E$. (华中科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle f(x)=x^3-x^2-x-2=(x-2)(x^2+x+1)$. 则 $\displaystyle A$ 的特征值 $\displaystyle \in \left\{2, \mathrm{e}^\frac{2\pi\mathrm{ i}}{3}, \mathrm{e}^{-\frac{2\pi \mathrm{ i}}{3}}\right\}$. 由 $\displaystyle A$ 在实数域上不可对角化知 $\displaystyle \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{ i}}{3}, \mathrm{e}^{-\frac{2\pi \mathrm{ i}}{3}}$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值 (若不然, $\displaystyle A$ 的零化多项式 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 中没有重根, 而可对角化, 只能相似与 $\displaystyle 2E_n\Rightarrow A=2E_n$, 矛盾). 这就证明了 $\displaystyle A$ 的特征值为
$$\begin{aligned} \left\{\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\right\}=\left\{2, \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{ i}}{3}, \mathrm{e}^{-\frac{2\pi \mathrm{ i}}{3}}\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而
$$\begin{aligned} B\mbox{可逆}\Leftrightarrow&B\mbox{的特征值}x\lambda_i^2+y\lambda_i+1\neq 0, \forall\ 1\leq i\leq 3\\\\ \Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{llllllllllll} 4x+2y+1\neq 0\\\\ x\mathrm{e}^{-\frac{2\pi\mathrm{ i}}{3}}+y\mathrm{e}^\frac{2\pi \mathrm{ i}}{3}+1\neq 0\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 当 $\displaystyle x=-1, y=1$ 时, 设
$$\begin{aligned} g(x)=x^3-x^2-x-2, h(x)=-x^2+x+1, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} g(x)=-xh(x)-2\Rightarrow& 0=g(A)=-Ah(A)-2=-AB-2E\\\\ \Rightarrow& B\frac{A}{-2}=E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle f(x)=-\frac{x}{2}$, 则 $\displaystyle Bf(A)=E$. 往用反证法证明 $\displaystyle f(x)$ 就是所求. 若不然, 还存在次数为 $\displaystyle 0$ 的多项式 $\displaystyle c$, 使得
$$\begin{aligned} B\cdot cE=E\Rightarrow B=\frac{1}{c}E\Rightarrow -A^2+A+E=\frac{1}{c}E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle A$ 的互异特征值至多有两个. 与第 1 步的结果矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1137、 4、 (20 分) 已知 $\displaystyle a$ 为实对称矩阵, $\displaystyle d > 0$ 且方程组 $\displaystyle AX=\alpha$ 无解. 证明: $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&d\end{array}\right)$ 为不定矩阵. (华中科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-\frac{\alpha}{d}\\\\ 0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -\frac{\alpha^\mathrm{T}}{d}&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-\frac{\alpha\alpha^\mathrm{T}}{d}&\\\\ &d\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即 $\displaystyle e_{n+1}^\mathrm{T} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-\frac{\alpha\alpha^\mathrm{T}}{d}&\\\\ &d\end{array}\right)e_{n+1}=d > 0$ 知为证 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&d\end{array}\right)$ 不定, 仅需证明
$$\begin{aligned} &\exists\ 0\neq x_0\in\mathbb{R}^n,\mathrm{ s.t.} x_0^\mathrm{T} \left(A-\frac{\alpha\alpha^\mathrm{T}}{d}\right)x_0 < 0\qquad(I)\\\\ \Rightarrow&(x_0^\mathrm{T},0)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-\frac{\alpha\alpha^\mathrm{T}}{d}&\\\\ &d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x_0\\\\0\end{array}\right) < 0\\\\ \Rightarrow&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-\frac{\alpha\alpha^\mathrm{T}}{d}&\\\\ &d\end{array}\right)\mbox{不定}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
事实上, 由 $\displaystyle Ax=\alpha$ 无解知 (都用反证法证明)
$$\begin{aligned} &\mathrm{rank} A=r < n, \alpha\neq 0,\\\\ &\mathrm{rank} A < \mathrm{rank}(A,\alpha)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A^\mathrm{T}\\\\\alpha^\mathrm{T}\end{array}\right)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\\\\\alpha^\mathrm{T}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r$ 是 $\displaystyle A$ 的列向量组的一个极大无关组, 则由 $\displaystyle A^\mathrm{T} =A$ 知 $\displaystyle \varepsilon_1^\mathrm{T},\cdots,\varepsilon_r^\mathrm{T}$ 是 $\displaystyle A$ 的行向量组的一个极大无关组, 且 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r,\alpha$ 线性无关. 将 $\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r,\alpha$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_r,\eta_{r+1}$, 则
$$\begin{aligned} L(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_i)=&L(\eta_1,\cdots,\eta_i), 1\leq i\leq r,\\\\ L(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r,\alpha)=&L(\eta_1,\cdots,\eta_r,\eta_{r+1}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle x_0=\eta_{r+1}\neq 0$, 则
$$\begin{aligned} &x_0=\eta_{r+1}\perp \eta_i\left(1\leq i\leq r\right) \Rightarrow x_0\perp \varepsilon_i\left(1\leq i\leq r\right)\\\\ \Leftrightarrow&\varepsilon_i^\mathrm{T} x_0=0\left(1\leq i\leq r\right)\Leftrightarrow Ax_0=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此外, 还有
$$\begin{aligned} \alpha=\sum_{i=1}^r x_i\eta_i+x_{r+1}\eta_{r+1}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle x_{r+1}\neq 0$ (否则, $\displaystyle \alpha\in L(\eta_1,\cdots,\eta_r)=L(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_r)$, 矛盾). 从而
$$\begin{aligned} \alpha^\mathrm{T} x_0=\left(\sum_{i=1}^r x_i\eta_i+x_{r+1}\eta_{r+1}\right)^\mathrm{T} \eta_{r+1} =x_{r+1}\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
我们最终得到 $\displaystyle x_0^\mathrm{T} \left(A-\frac{\alpha\alpha^\mathrm{T}}{d}\right)x_0 =-\frac{|\alpha^\mathrm{T} x_0|^2}{d} < 0$, $\displaystyle (I)$ 得证.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1138、 7、 (20 分) 设矩阵 $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)$, 且 $\displaystyle m(\lambda)\mid h(\lambda)$, 其中 $\displaystyle h(\lambda)=[f(\lambda),g(\lambda)]$. 证明:
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} f(A)+\mathrm{rank} g(A)\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(华中科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &m(\lambda)\mid h(\lambda)\Rightarrow \exists\ k(\lambda),\mathrm{ s.t.} h(\lambda)=k(\lambda)m(\lambda),\\\\ &h(\lambda)=\left[f(\lambda),g(\lambda)\right]=\frac{f(\lambda)g(\lambda)}{\left(f(\lambda),g(\lambda)\right)} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &f(\lambda)g(\lambda)=\left(f(\lambda),g(\lambda)\right)h(\lambda) =\left(f(\lambda),g(\lambda)\right)k(\lambda)m(\lambda)\\\\ \Rightarrow&f(A)g(A)=\left(f(A),g(A)\right)k(A)m(A)=0\\\\ \Rightarrow&\mathrm{rank} f(A)+\mathrm{rank} g(A)\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1139、 (2)、 三阶矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 0&2&1\\\\ 0&0&3\end{array}\right)$ 的逆矩阵为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华中师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\\\\ 0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\\\\ 0&0&\frac{1}{3}\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1140、 (3)、 设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&-2&-1\\\\ 1&2&1\\\\ 1&2&1\end{array}\right)$, 那么 $\displaystyle A^{2022}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华中师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2,0,0$. 由
$$\begin{aligned} 2E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&-1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), 0E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 2,0$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\1 \end{array}\right); \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2\\\\1\\\\0 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\0\\\\1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&-2&-1\\\\ 1&1&0\\\\ 1&0&1 \end{array}\right)\Rightarrow P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(2,0,0\right)\\\\ \Rightarrow& A^{2022}=P\mathrm{diag}(2^{2022},0,0)P^{-1} =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-2^{2021}&-2^{2022}&-2^{2021}\\\\ 2^{2021}&2^{2022}&2^{2021}\\\\ 2^{2021}&2^{2022}&2^{2021}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1141、 (4)、 实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&-1\\\\ 1&0&1\\\\ -1&1&0\end{array}\right)$ 的正惯性指数是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华中师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,1,-2$, 而正惯性指数为 $\displaystyle 2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1142、 (6)、 二阶 $\displaystyle \lambda$-矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda^2-3\lambda+2&0\\\\ 0&\lambda^2-4\lambda+3\end{array}\right)$ 的等价标准形为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (华中师范大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda^2-3\lambda+2&0\\\\ 0&\lambda^2-4\lambda+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}(\lambda-1)(\lambda-2)&\\\\ &(\lambda-1)(\lambda-3)\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知行列式因子为 $\displaystyle \lambda-1,(\lambda-1)^2(\lambda-2)(\lambda-3)$, 而不变因子为 $\displaystyle \lambda-1,(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)$, 等价标准形为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda-1&\\\\ &(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1143、 3、 (20 分) 设 $\displaystyle A,B$ 都是 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵, $\displaystyle n\geq 2$. 证明: $\displaystyle B^3AB^3$ 正定当且仅当仅当 $\displaystyle A$ 正定, $\displaystyle B$ 可逆. (吉林大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: $\displaystyle B^3AB^3=(B^3)^\mathrm{T} AB$ 与正定矩阵 $\displaystyle A$ 合同, 而正定. (2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 先用反证法证明 $\displaystyle B$ 可逆. 若 $\displaystyle B$ 不可逆, 则 $\displaystyle Bx=0$ 有非零解 $\displaystyle \alpha\neq 0$. 从而
$$\begin{aligned} \alpha^\mathrm{T} B^3AB^3\alpha=(B^3\alpha)^\mathrm{T} A(B^3\alpha)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这与 $\displaystyle B^3AB^3$ 正定矛盾. 故有结论. 进步, 实对称矩阵 $\displaystyle A$ 与正定矩阵 $\displaystyle B^3AB^3=(B^3)^\mathrm{T} AB^3$ 合同, 而正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1144、 5、 (20 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 3n$ 阶复矩阵, $\displaystyle n\geq 2$, $\displaystyle \mu(x)$ 是 $\displaystyle A$ 的极小多项式, $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle A$ 的特征多项式, 且满足 $\displaystyle f(x)=\mu^3(x)$. 设 $\displaystyle A$ 的全体互异特征值的个数为 $\displaystyle k$, $\displaystyle A$ 的线性无关的特征向量的最大个数为 $\displaystyle s$. (1)、 证明: $\displaystyle A$ 可对角化当且仅当 $\displaystyle k=n$; (2)、 证明: $\displaystyle 3k\leq s\leq 2n+k$. (吉林大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \mu(x)=\prod_{i=1}^k (\lambda-\lambda_i)^{n_i}, n_i\geq 1$, 则 $\displaystyle f(x)=\prod_{i=1}^k(\lambda-\lambda_i)^{3n_i}$. 从而
$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^k 3n_i=3n\Rightarrow \sum_{i=1}^k n_i=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 $\displaystyle A$ 可对角化等价于 $\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle \mu(x)$ 没有重根 $\displaystyle \Leftrightarrow n_i=1\Leftrightarrow k=n$. 最后一个 $\displaystyle \Leftrightarrow$ 的理由如下. (1-1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 设 $\displaystyle k=n$, 则
$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n n_i=n\Rightarrow n=\sum_{i=1}^n n_i\geq \sum_{i=1}^n 1=n \Rightarrow n_i=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设 $\displaystyle n_i=1$, 则
$$\begin{aligned} n=\sum_{i=1}^k n_i=\sum_{i=1}^k 1=k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-3)、 由 $\displaystyle \mu(x)$ 的形式知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 中含有 Jordan 块 $\displaystyle J_{n_i}(\lambda_i), 1\leq i\leq k$, 且所有以 $\displaystyle \lambda_i$ 为对角元的 Jordan 块的阶数 $\displaystyle \leq n_i$. 再由 $\displaystyle f(x)$ 的形式知以 $\displaystyle \lambda_i$ 为对角元的 Jordan 块的阶数和为 $\displaystyle 3n_i$. 于是可设
$$\begin{aligned} J=&\mathrm{diag}\left(J_{n_1}(\lambda_1), \cdots, J_{n_k}(\lambda_k), J_{m_{11}}(\lambda_1), \cdots, J_{m_{1t_1}}(\lambda_1),\right.\\\\ &\left.\cdots, J_{m_{k1}}(\lambda_k), \cdots, J_{m_{kt_k}}(\lambda_k)\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中
$$\begin{aligned} 1\leq m_{ij}\leq n_i, t_i\geq 0, n_i+\sum_{j=1}^{t_i}m_{ij}=3n_i.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意到每个 $\displaystyle J_{n_i}(\lambda_i), J_{m_{ij}}(\lambda_i)$ 对应于 $\displaystyle A$ 的一个特征值, 我们知
$$\begin{aligned} s=k+\sum_{i=1}^k t_i \leq k+\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{t_i}m_{ij}=k+2n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle (I)$ 知以 $\displaystyle \lambda_i$ 为对角元的 Jordan 块有
$$\begin{aligned} J_{n_1}(\lambda_i), J_{m_{i1}}(\lambda_i), \cdots, J_{m_{it_i}}(\lambda_i). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为使 $\displaystyle s$ 最小, 应让 Jordan 块的个数尽可能少, 由 $\displaystyle \sum_{j=1}^{t_i}m_{ij}=2n_i$ 知应让 Jordan 块的阶数尽可能大. 注意到以 $\displaystyle \lambda_i$ 为对角元的 Jordan 块的阶数最大为 $\displaystyle n_i$, 而 $\displaystyle s$ 最小时, 各 $\displaystyle m_{ij}=n_i$. 此时各 $\displaystyle t_i=2$, $\displaystyle s=k+\sum_{i=1}^k t_i=3k$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1145、 3、 已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&-3\\\\ -1&4&-3\\\\ 1&k&5\end{array}\right)$ 有一个二重特征值, 求 $\displaystyle k$ 的值并回答 $\displaystyle A$ 能否对角化? (暨南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &f(\lambda)=\lambda^3-10\lambda^2-3k\lambda+34\lambda-48 \Rightarrow f'(\lambda)=3x^2-20x+3k+34\\\\ \Rightarrow&f(\lambda)=\left(\frac{x}{3}-\frac{10}{9}\right)f'(x) +\frac{16}{9}-\frac{8k}{3}+\left(\frac{4}{9}+2k\right)x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的二重特征值 $\displaystyle \lambda_0$ 作为 $\displaystyle f(\lambda)$ 的重根, 满足
$$\begin{aligned} &\frac{16}{9}-\frac{8k}{3}+\left(\frac{4}{9}+2k\right)\lambda_0=0 \Rightarrow \lambda_0=\frac{4(3k-2)}{9k+2}\\\\ \Rightarrow&0=f'(\lambda_0)=\frac{81(k+2)^2(3k+2)}{(9k+2)^2} \Rightarrow k=-2\mbox{或} -\frac{2}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 当 $\displaystyle k=-2$ 时, $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 6,2,2$. 由
$$\begin{aligned} A-2E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-2&3\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rank}(A-2E)=1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A\sim \mathrm{diag}(6,2,2)$ [Jordan 标准形严格上三角部分没有 $\displaystyle 1$, 否则与上述秩等式矛盾]. (2)、 当 $\displaystyle k=-\frac{2}{3}$ 时, $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 4,4,2$. 由
$$\begin{aligned} A-4E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&3\\\\ 0&1&3\\\\ 0&0&0\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rank}(A-4E)=2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A\sim \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&1&\\\\ &4&\\\\ &&2\end{array}\right)$, 而不可对角化.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1146、 6、 若 $\displaystyle A_{m\times n}$ 的秩为 $\displaystyle n$, 则 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 是否一定可逆? 请证明或举反例. (暨南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n$ 在 $\displaystyle Ax=0$ 只有零解. 对 $\displaystyle \forall\ 0\neq x\in\mathbb{R}^n$, $\displaystyle y=Ax\neq 0$, 而
$$\begin{aligned} x^\mathrm{T}(A^\mathrm{T} A)x=y^\mathrm{T} y > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A^\mathrm{T} A$ 正定, 而可逆.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1147、 8、 在什么条件下, 有分块矩阵的行列式满足 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccccccc}A&C\\\\ &B\end{array}\right|=|A|\cdot |B|$, 并证明你的结论. (暨南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 只要 $\displaystyle A,B$ 是方阵, 结论就成立. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m$ 阶方阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵, 题中左端矩阵为 $\displaystyle D$, 则按列展开, 并注意到只要 $\displaystyle i\geq m+1, i\leq m$, $\displaystyle d_{ij}=0$, 我们知
$$\begin{aligned} \mbox{左端}=&\sum_{\left\{i_1,\cdots,i_m\right\}=\left\{1,\cdots,m\right\}\atop \left\{i_{m+1},\cdots,i_{m+n}\right\}=\left\{m+1,\cdots,m+n\right\}}\boxed{\begin{array}{c}(-1)^{\tau(i_1\cdots i_m,i_{m+1},\cdots,i_{m+n})}\\\\ d_{i_11}\cdots d_{i_mm}d_{i_{m+1},m+1}\cdots d_{i_{m+n-1}}d_{m+n}\end{array}}\\\\ =&\sum_{\left\{i_1,\cdots,i_m\right\}=\left\{1,\cdots,m\right\}}(-1)^{\tau(i_1\cdots i_m)}d_{i_11}\cdots d_{i_mm}\\\\ &\sum_{\left\{i_{m+1},\cdots,i_{m+n}\right\}=\left\{m+1,\cdots,m+n\right\}} (-1)^{\tau(i_{m+1},\cdots,i_{m+n})}d_{i_{m+1},m+1}\cdots d_{i_{m+n},m+n}\\\\ =&\sum_{\left\{i_1,\cdots,i_m\right\}=\left\{1,\cdots,m\right\}}(-1)^{\tau(i_1\cdots i_m)}a_{i_11}\cdots a_{i_mm}\\\\ &\sum_{\left\{i_{m+1},\cdots,i_{m+n}\right\}=\left\{m+1,\cdots,m+n\right\}} (-1)^{\tau(i_{m+1},\cdots,i_{m+n})}b_{i_{m+1},m+1}\cdots b_{i_{m+n},m+n}\\\\ =&|A|\cdot |B|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1148、 4、 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&0&\cdots&0&1\\\\ 1&0&0&\cdots&0&0\\\\ 0&1&0&\cdots&0&0\\\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ 0&0&0&\cdots&0&0\\\\ 0&0&0&\cdots&1&0\end{array}\right)$. 求 $\displaystyle A$ 的不变因子, 初等因子以及 $\displaystyle A$ 的若尔当标准形. (南昌大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 按第 $\displaystyle 1$ 行展开知
$$\begin{aligned} |\lambda E_n-A|=\lambda\cdot \lambda^{n-1}+(-1)^{1+n}(-1)\cdot(-1)^{n-1} =\lambda^n-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的特征值为全体 $\displaystyle n$ 次单位根 $\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{ i}\frac{2k\pi}{n}}, 0\leq k\leq n-1$. 由它们互异知 $\displaystyle A$ 可对角化, 即 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为
$$\begin{aligned} \mathrm{diag}(1,\mathrm{e}^{\mathrm{ i} \frac{2\pi}{n}},\cdots, \mathrm{e}^{\mathrm{ i} \frac{2(n-1)\pi}{n}}), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$\displaystyle A$ 的初等因子为
$$\begin{aligned} \lambda-1, \lambda- \mathrm{e}^{\mathrm{ i} \frac{2\pi}{n}},\cdots, \lambda-\mathrm{e}^{\mathrm{ i} \frac{2(n-1)\pi}{n}}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
不变因子为
$$\begin{aligned} 1,\cdots,1, \lambda^n-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1149、 5、 设 $\displaystyle A$ 为实对称矩阵, $\displaystyle B$ 为半正定矩阵, $\displaystyle |A+\mathrm{ i} B|=0$. 证明: (0-30)、 方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}Ax=0,\\\\ Bx=0\end{array}\right.$ 有非零实向量解; (0-31)、 $\displaystyle |A|=|B|=0$. (南昌大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (0-32)、 先证一个结论. 对半正定矩阵 $\displaystyle B$ 而言, $\displaystyle x^\mathrm{T} Bx=0\Leftrightarrow Bx=0$. 事实上, ‘$\Leftarrow$‘显然成立. 往证’$\Rightarrow$‘. 由 $\displaystyle B$ 半正定知存在实矩阵 $\displaystyle C$ 使得 $\displaystyle B=C^\mathrm{T} C$. 而
$$\begin{aligned} &x^\mathrm{T} Bx=0\Rightarrow 0=x^\mathrm{T} C^\mathrm{T} Cx=(Cx)^\mathrm{T} (Cx)\\\\ \Rightarrow& Cx=0\Rightarrow Bx=C^\mathrm{T} Cx=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(0-33)、 回到题目. 由 $\displaystyle |A+\mathrm{ i} B|=0$ 知 $\displaystyle (A+\mathrm{ i} B)x=0$ 有非零解 $\displaystyle x=\alpha+\mathrm{ i} \beta, \alpha,\beta\in\mathbb{R}^n, \alpha,\beta$ 不全为 $\displaystyle 0$. 于是
$$\begin{aligned} &0=(A+\mathrm{ i} B)(\alpha+\mathrm{ i} \beta) =(A\alpha-B\beta)+\mathrm{ i}(A\beta+B\alpha)\\\\ \Rightarrow&A\alpha=B\beta, A\beta=-B\alpha\\\\ \Rightarrow& 0=-\alpha^\mathrm{T} B\alpha=\alpha^\mathrm{T} A\beta=\beta^\mathrm{T} A\alpha=\beta^\mathrm{T} B\beta\geq 0\\\\ \Rightarrow&\alpha^\mathrm{T} B\alpha=\beta^\mathrm{T} B\beta=0\stackrel{\mbox{第 1 步}}{\Rightarrow}B\alpha=B\beta=0\\\\ \Rightarrow&\left\{\begin{array}{llllllllllll}A\alpha=0,\\\\ B\alpha=0,\end{array}\right.\mbox{且} \left\{\begin{array}{llllllllllll}A\beta=0,\\\\ B\beta=0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}Ax=0,\\\\ Bx=0\end{array}\right.$ 有非零解 $\displaystyle \alpha$ 或 $\displaystyle \beta$. (0-34)、 由第 2 步知 $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}Ax=0,\\\\ Bx=0\end{array}\right.$ 有非零解 $\displaystyle x$, 则 (0-1)、 $\displaystyle Ax=0$ 有非零解 $\displaystyle x$, 而 $\displaystyle |A|=0$. (0-2)、 $\displaystyle Bx=0$ 有非零解 $\displaystyle x$, 而 $\displaystyle |B|=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1150、 6、 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的特征多项式为 $\displaystyle (\lambda-1)^n$. 证明: 对任意正整数 $\displaystyle k: 2\leq k\leq n$, $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle A^k$ 相似. (南昌大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 先证明对任意正整数 $\displaystyle k$, $\displaystyle J_m^k(1)$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle J_m(1)$. 事实上, 设 $\displaystyle N=J_m(0)$, 则
$$\begin{aligned} J_m^k(1)=&\left(E_m+N\right)^k =E_m+C_k^1 N+C_k^2 N^2+\cdots\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&k&\star&\star\\\\ &\ddots&\ddots&\star\\\\ &&\ddots&k\\\\ &&&1\end{array}\right)_m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \mathrm{rank}\left(J_m^k(1)-E_m\right)=n-1$. 这表明 $\displaystyle J_m^k(1)$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 也满足 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-E_m)=n-1$, 从而 $\displaystyle J=J_m(1)$. (2)、 由 $\displaystyle A$ 的特征多项式为 $\displaystyle (\lambda-1)^n$ 知存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} &P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(J_{n_1}(1),\cdots, J_{n_s}(1)\right)\\\\ \Rightarrow&P^{-1}A^kP=\mathrm{diag}\left(J_{n_1}^k(1),\cdots,J_{n_s}^k(1)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由第 1 步知存在可逆矩阵 $\displaystyle Q_i$ 使得
$$\begin{aligned} Q_i^{-1}J_{n_i}^k(1)Q_i=J_{n_i}(1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle Q=\mathrm{diag}(Q_1,\cdots,Q_s)$, 则 $\displaystyle Q$ 可逆, 且
$$\begin{aligned} Q^{-1}P^{-1}A^kPQ=&Q^{-1}\mathrm{diag}\left(J_{n_1}^k(1),\cdots,J_{n_s}^k(1)\right)Q\\\\ =&\mathrm{diag}\left(J_{n_1}(1),\cdots,J_{n_s}(1)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle A,A^k$ 都相似于 $\displaystyle \mathrm{diag}\left(J_{n_1}(1),\cdots,J_{n_s}(1)\right)$, 而 $\displaystyle A\sim A^k$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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