张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第41天
921、 (3)、 $\displaystyle x^4-9$ 在复数域上的因式分解为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (云南大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} x^4-9=&(x^2+3)(x^2-3)\\\\ =&\left(x+\sqrt{3}\mathrm{ i}\right)\left(x-\sqrt{3}\mathrm{ i}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
922、 (4)、 $\displaystyle x_1x_2-x_2x_3+x_1x_3$ 的正惯性指数为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (云南大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 题中二次型的矩阵为
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\\ \frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}\\\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
它的特征值为 $\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{2},-1$, 而正惯性指数为 $\displaystyle 2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
923、 1、 填空题 (每题 5 分, 共 30 分). (0-3)、 当 $\displaystyle \lambda=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 时, $\displaystyle x^2+3x+2\mid x^4+\lambda x^2-3x+2$. (长安大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} x^4+\lambda x^2-3x+2 =(x^2-3x+\lambda+7)(x^2+3x+2)-(\lambda+6)(3x+2) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \lambda=-6$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
924、 2、 (10 分) 求多项式 $\displaystyle x^4-6x^2+8x-3$ 在有理数域上的标准分解. (长安大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 通过有理根判定知 $\displaystyle 1,-3$ 是题中多项式 $\displaystyle f$ 的根. 再作带余除法知 $\displaystyle f(x)=(x-1)^3(x+3)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
925、 (6)、 设 $\displaystyle f(x)$ 是首一三次多项式, 满足 $\displaystyle (x-1)^2\mid f(x)-1, (x+1)^2\mid f(x)+1$, 则 $\displaystyle f(x)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (郑州大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\quad \ (x-1)\mid f'(x), (x+1)\mid f'(x)\\\\ &\Rightarrow (x^2-1)\mid f'(x)\Rightarrow f'(x)=(x+a)(x^2-1)\\\\ &\Rightarrow f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{ax^3}{3}-\frac{x^2}{2}-ax\\\\ &\stackrel{f(1)=1,f(-1)=-1}{\Rightarrow}a=-\frac{3}{2}, b=\frac{1}{4}\\\\ &\Rightarrow f(x)=\frac{x^4-2x^3-2x^2+6x+1}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
926、 2、 计算和证明题. (1)、 设 $\displaystyle f(x)=1+x+\cdots+x^{n-1}$. 证明: $\displaystyle f(x)\mid [(f(x)-x^n)^2-x^n]$. (郑州大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle g(x)=(f(x)-x^n)^2-x^n$, $\displaystyle \omega_k=\mathrm{e}^{\mathrm{ i}\frac{2k\pi}{n}}, 1\leq k\leq n-1$, 则
$$\begin{aligned} f(x)=&\frac{x^n-1}{x-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(x-\omega_k),\\\\ g(\omega_k)=&\left[f(\omega_k)-1\right]^2-1=(0-1)^2-1=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f\mid g$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
927、 1、 (1)、 设 $\displaystyle g(x),h(x)$ 互素, 求证: $\displaystyle (fh,g)=(f,g)$. (中国科学院大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 只要证明 $\displaystyle fh,g$ 与 $\displaystyle f,g$ 的公因式相同即可. (1)、 若 $\displaystyle d\mid f, d\mid g$, 则 $\displaystyle d$ 也是 $\displaystyle fh,g$ 的公因式. (2)、 若 $\displaystyle d\mid fh, d\mid g$, 则由
$$\begin{aligned} (g,h)=1\Rightarrow&\exists\ u,v,\mathrm{ s.t.} ug+vh=1 \Rightarrow vfg+vfh=f\\\\ \Rightarrow& d\mid (vfg+vfh)=f \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle d$ 也是 $\displaystyle f,g$ 的公因式.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
928、 2、 设 $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 为整系数多项式. 证明: 若 $\displaystyle ac+bc$ 为奇数, 则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约. (中国科学院大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用反证法. 若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 中可约, 则存在正数 $\displaystyle \alpha,d,e$, 使得
$$\begin{aligned} &f(x)=(x-\alpha)(x^2+dx+e)\\\\ \Rightarrow&x^3+ax^2+bx+c=x^3+(d-\alpha)x^2+(e-\alpha d)x-\alpha e\\\\ \Rightarrow&a=d-\alpha, b=e-\alpha d, c=-\alpha e. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle (a+b)c$ 是奇数知
$$\begin{aligned} \mbox{ $\displaystyle c$ 是奇数}&\Rightarrow \mbox{ $\displaystyle \alpha,e$ 均是奇数}\left(c=-\alpha e\right),\\\\ \mbox{ $\displaystyle a+b$ 是奇数}&\Rightarrow \left\{\begin{array}{llllllllllll} \mbox{ $\displaystyle a$ 奇, $\displaystyle b$ 偶}&\Rightarrow \mbox{ $\displaystyle d$ 偶}\left(a=d-\alpha\right)\\\\ &\Rightarrow\mbox{偶 $\displaystyle b=e-\alpha d$ 奇}\Rightarrow\mbox{矛盾},\\\\ \mbox{ $\displaystyle a$ 偶, $\displaystyle b$ 奇}&\Rightarrow \mbox{ $\displaystyle d$ 奇}\left(a=d-\alpha\right)\\\\ &\Rightarrow \mbox{奇 $\displaystyle b=e-\alpha d$ 偶}\Rightarrow\mbox{矛盾}. \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
929、 1、 选择题. (1)、 设 $\displaystyle k,l$ 是整数, 且都大于 $\displaystyle 1$, 则 $\displaystyle x^{3k}+x^{3l}$ 除以 $\displaystyle x^2+x+1$ 的余式为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
A. $\displaystyle x+1$
B. $\displaystyle 0$
C. $\displaystyle 1$
D. $\displaystyle 2$ (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle D$. 设
$$\begin{aligned} x^{3k}+x^{3l}=q(x)(x^2+x+1)+ax+b, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则令 $\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{3}\mathrm{ i}}{2}$ 后得
$$\begin{aligned} 2=a\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{ i}}{2}+b, 2=a\frac{-1- \sqrt{3}\mathrm{ i}}{2}+b\Rightarrow a=0, b=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
930、 2、 已知多项式 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x)\mid f(x^n)$, 证明: $\displaystyle f(x)$ 的根只能是 $\displaystyle 0$ 或单位根. (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{ $\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle f$ 的根}&\Rightarrow f(\alpha)=0\\\\ &\Rightarrow f(\alpha^n)=0\left(f(x)\mid f(x^n)\right)\\\\ &\Rightarrow f\left(\alpha^{n^2}\right)=f\left((\alpha^n)^n\right)=0\Rightarrow\cdots\\\\ &\Rightarrow f(\alpha^{n^m})=0\left(\forall\ m\geq 0\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这表明 $\displaystyle \partial(f)$ 次多项式 $\displaystyle f$ 有根 $\displaystyle \alpha,\alpha^n, \cdots,\alpha^{n^m},\cdots$. 它们不会全都相同 (否则 $\displaystyle f$ 有无穷多个根, 与代数基本定理矛盾),
$$\begin{aligned} \exists\ i\neq j,\mathrm{ s.t.} \alpha^{n^i}=\alpha^{n^j} &\Rightarrow \alpha^{n^j}\left(\alpha^{n^i-n^j}-1\right)=0\left(\mbox{不妨设 $\displaystyle i > j$}\right)\\\\ &\Rightarrow \mbox{ $\displaystyle \alpha=0$ 或为单位根}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
931、 1、 填空题 (每题 5 分, 共 50 分). (1)、 多项式 $\displaystyle x^4+4x^3-2x^2-12x+9$ 的有理根是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设题中多项式为 $\displaystyle f(x)$, 则计算 $\displaystyle f(\pm 1),f(\pm 3), f(\pm 9)$ 后发现只有 $\displaystyle f(1)=0, f(-3)=0$. 故 $\displaystyle f$ 的有理根是 $\displaystyle 1,-3$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
932、 2、 (10 分) 设复系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式, 证明: $\displaystyle 2f(x)+f'(x)$ 与 $\displaystyle f(x)$ 是互素的. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle f$ 没有重因式知
$$\begin{aligned} (f,f')=1\Rightarrow (2f+f',f)=(f',f)=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
933、 1、 判断题. (1)、 设 $\displaystyle f(x)=g(x)h(x)$, 其中 $\displaystyle f(x),g(x)$ 都是整系数多项式, $\displaystyle h(x)$ 是有理系数多项式, 则 $\displaystyle h(x)$ 也是整系数多项式. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 比如 $\displaystyle f(x)=x^2, g(x)=2x, h(x)=\frac{1}{2}x$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
934、 (2)、 多项式 $\displaystyle x^6+5x-54$ 在任意数域上可约. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \surd$. 设 $\displaystyle f(x)=x^6+5x-54$, 则 $\displaystyle f(-2)=64-10-54=0$. 而 $\displaystyle (x+2)\mid f(x)$. 进一步,
$$\begin{aligned} f(x)=(x+2)(x^5-2x^4+4x^3-8x^2+16x-27). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 中可约, 而在任意数域中可约.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
935、 2、 填空题. (1)、 设 $\displaystyle n$ 为正整数, 则 $\displaystyle x^{2n+1}-1$ 在实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的标准分解式为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle x^{2n+1}-1$ 的全体复根为 $\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{ i} \frac{2k\pi}{2n+1}}, -n\leq k\leq n$ 知
$$\begin{aligned} x^{2n+1}-1=&(x-1)\prod_{k=1}^n \left[\left(x-\mathrm{e}^{\mathrm{ i} \frac{2k\pi}{2n+1}}\right) \left(x-\mathrm{e}^{-\mathrm{ i}\frac{2k\pi}{2n+1}}\right)\right]\\\\ =&(x-1)\prod_{k=1}^n \left(x^2-2x\cos\frac{2k\pi}{2n+1}+1\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
936、 (2)、 设 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是多项式 $\displaystyle x^3+px^2+qx+r$ 的三个根, 其中 $\displaystyle r\neq 0$, 则
$$\begin{aligned} \frac{1}{\alpha_1^2}+\frac{1}{\alpha_2^2}+\frac{1}{\alpha_3^2}=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(中国人民大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &x^3+px^2+qx+r=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)\\\\ \Rightarrow&\frac{1}{x^3}+p\frac{1}{x^2}+q\frac{1}{x}+r=\left(\frac{1}{x}-\alpha_1\right)\left(\frac{1}{x}-\alpha_2\right)\left(\frac{1}{x}-\alpha_3\right)\\\\ \Rightarrow&rx^3+qx^2+px+1=(1-\alpha_1 x)(1-\alpha_2x)(1-\alpha_3x) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \frac{1}{\alpha_1}, \frac{1}{\alpha_2}, \frac{1}{\alpha_3}$ 是 $\displaystyle rx^3+qx^2+px+1=0$ 的根, 而
$$\begin{aligned} &\frac{1}{\alpha_1^2}+\frac{1}{\alpha_2^2}+\frac{1}{\alpha_3^2}\\\\ =&\left(\frac{1}{\alpha_1}+\frac{1}{\alpha_2}+\frac{1}{\alpha_3}\right)^2 -2\left(\frac{1}{\alpha_1\alpha_2}+\frac{1}{\alpha_2\alpha_3}+\frac{1}{\alpha_3\alpha_1}\right)\\\\ =& \left(-\frac{q}{r}\right)^2-2\frac{p}{r}=\frac{q^2-2pr}{r^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
937、 3、 设 $\displaystyle a,b$ 是互异常数. (1)、 求 $\displaystyle (x-a)(x-b)$ 除多项式 $\displaystyle f(x)$ 的余式. (2)、 求 $\displaystyle x^2-1$ 除 $\displaystyle f(x)=x^4+x^3+x+1$ 的商和余式; (3)、 求 $\displaystyle 99999999$ 除 $\displaystyle 10001000000010001$ 的商和余数. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 余式为 $\displaystyle \frac{[f(b)-f(a)]x+[bf(a)-af(b)]}{b-a}$. 事实上,
$$\begin{aligned} &f(x)=q(x)(x-a)(x-b)+Ax+B\left(\mbox{辗转相除法}\right)\\\\ \Rightarrow&\left\{\begin{array}{llllllllllll} f(a)=Aa+B\\\\ f(b)=Ab+B \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{llllllllllll} A=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\\\ B=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a} \end{array}\right.. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 按第 1 步的公式代入即知余式为 $\displaystyle 2x+2$. (3)、 硬算得
$$\begin{aligned} 10001000000010001 =100020001\times 99999999+20002. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故商为 $\displaystyle 100020001$, 余数为 $\displaystyle 20002$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
938、 5、 设 $\displaystyle f(x)=4x^3-21x-2019$. (1)、 证明: $\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约. (2)、 设 $\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 的一个根, 记
$$\begin{aligned} \mathbb{Q}[\alpha]=\left\{a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2; a_0,a_1,a_2\in\mathbb{Q}\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: 对任意 $\displaystyle g(x)\in \mathbb{Q}[x]$, 有 $\displaystyle g(\alpha)\in\mathbb{Q}[\alpha]$. (3)、 证明: 若 $\displaystyle 0\neq \beta\in \mathbb{Q}[\alpha]$, 存在 $\displaystyle \gamma\in\mathbb{Q}[\alpha]$, 使得 $\displaystyle \beta\gamma=1$. (中国人民大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 用反证法. 若 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 中可约, 则
$$\begin{aligned} \exists\ g,h\in \mathbb{Z}[x],\mathrm{ s.t.} &f(x)=g(x)h(x), 1\leq \deg g\leq \deg h\leq 2\\\\ \Rightarrow& \deg g=1, \deg h=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f$ 有有理根. 但 $\displaystyle f$ 的有理根必定是 $\displaystyle \frac{s}{r}, s\in \left\{\pm 1, \pm 29\right\}, r\in \left\{1,2,4\right\}$. 验算后发现上述 $\displaystyle \frac{s}{r}$ 满足 $\displaystyle f\left(\frac{s}{r}\right)\neq 0$. 这是一个矛盾. 故有结论. (2)、 对 $\displaystyle \forall\ g\in\mathbb{Q}[x]$, 由带余除法知
$$\begin{aligned} &g(x)=q(x)f(x)+r(x), r(x)=0\mbox{或} \deg r\leq 2\\\\ \Rightarrow&g(\alpha)=q(\alpha)f(\alpha)+r(\alpha)=r(\alpha)\in \mathbb{Q}[\alpha]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 对 $\displaystyle \forall\ 0\neq \beta\in \mathbb{Q}[\alpha]$, 则存在不全为零的 $\displaystyle a_0,a_1,a_2\in\mathbb{Q}$ 使得 $\displaystyle \beta=a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2$. 设 $\displaystyle g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$, 则由 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 中不可约知 $\displaystyle f\mid g$ 或 $\displaystyle (f,g)=1$. 但 $\displaystyle \deg g\leq 2\Rightarrow f\nmid g$, 而
$$\begin{aligned} (f,g)=1\Rightarrow& \exists\ u,v\in\mathbb{Q}[x],\mathrm{ s.t.} u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\\\\ \Rightarrow&1=u(\alpha)f(\alpha)+v(\alpha)g(\alpha)=v(\alpha)g(\alpha)=v(\alpha)\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由第 2 步知 $\displaystyle \gamma\equiv v(\alpha)\in\mathbb{Q}[\alpha]$, 且 $\displaystyle 1=\gamma\beta$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
939、 1、 (16 分) 设 $\displaystyle f_1,\cdots,f_n\ (n\geq 2)$ 均为实多项式. 若
$$\begin{aligned} (1+x+\cdots+x^n)\mid \left[\begin{array}{c}x^{n-1}f_1(x^{n+1}) +x^{n-2}f_2(x^{n+1})+\cdots\\\\+xf_{n-1}(x^{n+1})+f_n(x^{n+1})\end{array}\right], \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle f_i(1)=0, 1\leq i\leq n$. (中南大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 令 $\displaystyle x=\omega_k\equiv \mathrm{e}^{\mathrm{ i} \frac{2k\pi}{n+1}}, 1\leq k\leq n+1$, 则
$$\begin{aligned} &\omega_k^{n-1}f_1(1)+\omega_k^{n-2}f_2(1)+\cdots+\omega_k f_{n-1}(1)+f_n(1)=0, 1\leq k\leq n\\\\ \Leftrightarrow&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\omega_1^{n-1}&\omega_1^{n-1}&\cdots&\omega_1&1\\\\ \omega_2^{n-1}&\omega_2^{n-1}&\cdots&\omega_2&1\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\\\ \omega_n^{n-1}&\omega_n^{n-1}&\cdots&\omega_n&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}f_1(1)\\\\ f_2(1)\\\\ \vdots\\\\ f_n(1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\0\\\\\vdots\\\\0\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&f_k(1)=0, 1\leq k\leq n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
940、 3、 (15 分) 已知
$$\begin{aligned} f(x)=x^4+2x^3-4x^2-7x-2, g(x)=x^3-2x-4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 的首一最大公因式 $\displaystyle \left(f(x),g(x)\right)$; (2)、 求多项式 $\displaystyle u(x),v(x)$, 使得
$$\begin{aligned} u(x)f(x)+v(x)g(x)=\left(f(x),g(x)\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且 $\displaystyle \deg u(x) < \deg g(x), \deg v(x) < \deg f(x)$. (中山大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} f(x)=&(x+2)g(x)+r_1(x), r_1(x)=-2x^2+x+6,\\\\ g(x)=&\left(-\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\right)r_1(x)+r_2(x), r_2(x)=\frac{5}{4}x-\frac{5}{2},\\\\ r_1(x)=&\left(-\frac{8}{5}x-\frac{12}{5}\right)r_2(x) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} x-2=&(f,g)=\frac{4}{5}r_2(x)=\frac{4}{5}\left[g(x)+\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)r_1(x)\right]\\\\ =&\frac{4}{5}g(x)+\frac{1}{5}(2x+1)[f(x)-(x+2)g(x)]\\\\ =&\frac{2x+1}{5}f(x)+\frac{-2x^2-5x+2}{5}g(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle u(x)=\frac{2x+1}{5}, v(x)=\frac{-2x^2-5x+2}{5}$ 就满足题设要求.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
941、 1、 (12 分) 设由多项式
$$\begin{aligned} f(x)=x^2-x-2, g(x)=x^3+x^2-x-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle u(x),v(x)$ 使得
$$\begin{aligned} u(x)f(x)+v(x)g(x)=\left(f(x),g(x)\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(重庆大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} g(x)=&(x+2)f(x)+r_1(x), r_1(x)=3(x+1),\\\\ f(x)=&\frac{x-2}{3}r_1(x) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} x+1=&\left(f(x),g(x)\right)=\frac{1}{3}[g(x)-(x+2)f(x)]\\\\ =&-\frac{x+2}{3}f(x)+\frac{1}{3}g(x). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
942、 7、 (14 分) 设 $\displaystyle a_1,\cdots,a_n$ 是互不相同的整数, 且满足
$$\begin{aligned} f(x)=(x-a_1)\cdots(x-a_n)-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约. (重庆大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 我们证明
$$\begin{aligned} f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)-1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在有理数域上不可约. 用反证法. 若 (任一非零有理系数多项式均可写成一个有理数与一个本原多项式的乘积)
$$\begin{aligned} f(x)=g(x)h(x),\quad g(x)\in\mathbb{Z}[x],\ h(x)\in \mathbb{Z}[x],\quad 1\leq \partial(g),p(h) < n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} g(a_i)h(a_i)=f(a_i)=-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意到 $\displaystyle g(a_i),h(a_i)\in\mathbb{Z}$, 而
$$\begin{aligned} g(a_i)=\pm 1,\quad h(a_i)=\mp 1\Rightarrow g(a_i)+h(a_i)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 若 $\displaystyle g+h=0$, 则 $\displaystyle f=gh=-g^2$. 注意到 $\displaystyle -g^2$ 的首项系数为负数, 与 $\displaystyle f$ 的首项系数为 $\displaystyle 1$ 矛盾. (2)、 若 $\displaystyle g+h\neq 0$, 则次数 $\displaystyle < n$ 的多项式 $\displaystyle g(x)+h(x)$ 有 $\displaystyle n$ 个互不相同的根. 这与代数学基本定理矛盾. 不论何种情形, 都得到矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
943、 1、 (12 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 是一个三次多项式, 问 $\displaystyle f(x)$ 重根如何? [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [多项式 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目不全, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
/4 
|Archiver|小黑屋|小张的小站
( 赣ICP备2024047342号-1 )
发表于 2023-3-5 09:16:05