张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第36天

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张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第36天

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806、 4、 计算曲面积分

$$\begin{aligned} I=\iint_S 2x^2\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+2y^2\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+2z^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S$ 是锥面 $\displaystyle x^2+y^2=z^2\ (0\leq z\leq h)$ 的外侧. (湘潭大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varSigma: x^2+y^2\leq h^2, z=h$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma \cdots=\iint_{x^2+y^2\leq h^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=2\pi h^4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} I&=\left(I+\iint_\varSigma\cdots\right)-\iint_\varSigma\cdots\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iiint_{x^2+y^2\leq z^2\atop 0\leq z\leq h} (4x+4y+4z)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z-2\pi h^4\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 4 \iiint_{x^2+y^2\leq z^2\atop 0\leq z\leq h} z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z-2\pi h^4\\\\ &=4\int_0^h z\cdot \pi z^2\mathrm{ d} z-2\pi h^4=-\pi h^4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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807、 10、 (15 分) 计算

$$\begin{aligned} \int_{\widetilde{AB}}(2x\cos y-y^2\sin x+x^2y)\mathrm{ d} x +(2y\cos x-x^2\sin y)\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中曲线 $\displaystyle \widetilde{AB}$ 为圆 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 的上半部分, 起点为 $\displaystyle A=(1,0)$, 终点为 $\displaystyle B=(-1,0)$. (新疆大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \ell: y=0, x: -1\to 1$, 则 $\displaystyle \int_{\ell} \cdots=\int_{-1}^1 2x\mathrm{ d} x=0$. 于是

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mbox{原式}+\int_{\ell} \cdots\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \iint_{x^2+y^2\leq 1\atop y\geq 0}(-x^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}& -\frac{1}{2}\iint_{x^2+y^2\leq 1\atop y\geq 0}(x^2+y^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =-\frac{1}{2}\int_0^1 r^2\mathrm{ d} r\int_0^\pi r\mathrm{ d} \theta=-\frac{\pi}{8}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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808、 7、 (15 分) 计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_L \frac{x\mathrm{ d} y-y\mathrm{ d} x}{x^2+y^2}$, 其中 $\displaystyle L$ 是不经过原点的简单封闭曲线, 且取逆时针方向. (云南大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle P=\frac{-y}{x^2+y^2}, Q=\frac{x}{x^2+y^2}$, 则 $\displaystyle Q_x=P_y$. (1)、 若原点不在 $\displaystyle L$ 内部, 则由 Green 公式, 原式 $\displaystyle =0$. (2)、 若原点在 $\displaystyle L$ 内部, 则

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Green}}\oint_{x^2+y^2=\varepsilon^2} \frac{x\mathrm{ d} y-y\mathrm{ d} x}{x^2+y^2} =\frac{1}{\varepsilon^2}\oint_{x^2+y^2=\varepsilon^2} -y\mathrm{ d} x+x\mathrm{ d} y\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{Green}}\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{x^2+y^2 < \varepsilon^2}2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\frac{2}{\varepsilon^2}\cdot \pi \varepsilon^2=2\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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809、 (5)、 设 $\displaystyle \varSigma$ 是下半球面 $\displaystyle z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 的下侧, $\displaystyle \varOmega$ 是 $\displaystyle \varSigma$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围成的空间闭区域, 则曲面积分 $\displaystyle \iint_\varSigma z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.

A. $\displaystyle -\iiint_\varOmega \mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$

B. $\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{ d} \theta\int_0^a \sqrt{a^2-\rho^2}\rho\mathrm{ d} \rho$

C. $\displaystyle -\int_0^{2\pi}\mathrm{ d} \theta\int_0^a \sqrt{a^2-\rho^2}\rho\mathrm{ d} \rho$

D. $\displaystyle \iint_\varSigma (x+y+z)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$ (长安大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle B$.

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=-\iint_{x^2+y^2\leq a^2}z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=-\int_0^a \left(-\sqrt{a^2-\rho^2}\right) 2\pi \rho\mathrm{ d} \rho. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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810、 (3)、 若 $\displaystyle L$ 是以 $\displaystyle O (0,0), A (1,0), B (0,1)$ 为顶点的三角形, 则 $\displaystyle \oint_L (x+y)\mathrm{ d} s=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (长安大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_{y=0, x\in [0,1]}+\int_{y=x, x\in [0,1]}+\int_{x=0, y\in [0,1]}\cdots\\\\ =&\int_0^1 x\mathrm{ d} x+\int_0^1 (x+x)\sqrt{2}\mathrm{ d} x+\int_0^1 y\mathrm{ d} y=\sqrt{2}+1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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811、 (6)、 设 $\displaystyle S$ 表示立方体 $\displaystyle 0\leq x,y,z\leq a$ 的外表面, 则

$$\begin{aligned} \iint_S x^2\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+y^2\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+z^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(长安大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&\iiint_{[0,a]^3} (2x+2y+2z)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 6\iiint_{[0,a]^3} x\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&3a^2\int_0^a 2x\mathrm{ d} x=3a^4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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812、 (5)、 (10 分) 计算 $\displaystyle I=\oint_L \frac{\partial f}{\partial \vec{n}}\mathrm{ d} s$, 其中 $\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2$, $\displaystyle L$ 为椭圆 $\displaystyle 2x^2+y^2=1$, $\displaystyle \vec{n}$ 为 $\displaystyle L$ 的外法线向量. (长安大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} I&\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \iint_{2x^2+y^2\leq 1}\Delta f\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =4\iint_{2x^2+y^2\leq 1}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=4\cdot\frac{\pi}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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813、 1、 计算题 (每题 10 分, 共 40 分). (1)、 求第一型曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_S \sqrt{1+x^2+y^2}\mathrm{ d} S, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S$ 为螺旋面

$$\begin{aligned} x=u\cos v, y=u\sin v, z=v, \quad 0\leq u\leq 1, 0\leq v\leq \pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(中国海洋大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 算出

$$\begin{aligned} E=&x_u^2+y_u^2+z_u^2=\cos^2v+\sin^2v=1,\\\\ F=&x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=-u\sin v\cos v+u\sin v\cos v=0,\\\\ G=&x_v^2+y_v^2+z_w^2=u^2\sin^2v+u^2\cos^2v+1=1+u^2, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

我们知 $\displaystyle \sqrt{EG-F^2}=\sqrt{1+u^2}$,

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\iint_{0\leq u\leq 1\atop 0\leq v\leq \pi} \sqrt{1+u^2}\cdot\sqrt{1+u^2}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\\\\ =&\pi \int_0^1 (1+u^2)\mathrm{ d} u=\frac{4\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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814、 (4)、 设实轴上函数 $\displaystyle f(x)$ 有连续一阶导函数, $\displaystyle f(0)=-\frac{1}{2}$, 且曲线积分

$$\begin{aligned} \int_C [\mathrm{e}^x-f(x)]y\mathrm{ d} x+f(x)\mathrm{ d} y \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

与路径无关, 求 $\displaystyle f(x)$. (中国海洋大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设,

$$\begin{aligned} &f'(x)=\mathrm{e}^x-f(x)\Rightarrow [\mathrm{e}^x f(x)]'=\mathrm{e}^{2x}\\\\ \Rightarrow&\mathrm{e}^xf(x)-\mathrm{e}^0f(0)=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{2}\\\\ \Rightarrow& f(x)=\mathrm{e}^{-x}\frac{\mathrm{e}^{2x}-2}{2}=\frac{\mathrm{e}^x-2\mathrm{e}^{-x}}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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815、 4、 (15 分) 求

$$\begin{aligned} I=\oint_L y\mathrm{ d} x+z\mathrm{ d} y+x\mathrm{ d} z, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 为 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1$ 与 $\displaystyle x+y+z=1$ 的交线, 从 $\displaystyle x$ 轴正向看去为逆时针方向. (中国海洋大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} I&\xlongequal{\tiny\mbox{Stokes}} \iint_{x+y+z=1\atop x^2+y^2+z^2\leq 1} \left|\begin{array}{cccccccccc}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ y&z&x\end{array}\right|\mathrm{ d} S\\\\ &=\iint_{x+y+z=1\atop x^2+y^2+z^2\leq 1} \frac{1}{\sqrt{3}}(-1-1-1)\mathrm{ d} S =-\sqrt{3}\iint_{x+y+z=1\atop x^2+y^2+z^2\leq 1} \mathrm{ d} S\\\\ &=-\sqrt{3}\cdot \pi \left[1^2-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\right] =-\frac{2\sqrt{3}\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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816、 7、 (15 分)求第二型曲面积分

$$\begin{aligned} I=\iint_\varSigma \frac{3x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(z+3)^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{1}{2}}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma$ 为下半球面 $\displaystyle z=-\sqrt{9-x^2-y^2}$, 方向为上侧. (中国海洋大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} I=\frac{1}{3}\iint_\varSigma 3x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(z+3)^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设 $\displaystyle S: x^2+y^2\leq 9, z=0$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_S3x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(z+3)^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =9\iint_{x^2+y^2\leq 9}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =9\cdot \pi 9=81\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} I=&-\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}\iint_{\varSigma\mbox{下侧}}3x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(z+3)^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\+\iint_S3x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(z+3)^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\end{array}\right]\\\\ &+\frac{1}{3}\iint_S 3x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(z+3)^2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&-\frac{1}{3}\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq 9\atop -3\leq z\leq 0} [3+2(z+3)]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+27\pi\\\\ =&-\frac{1}{3}\int_{-3}^0 (2z+9)\cdot \pi(9-z^2)\mathrm{ d} z+27\pi=-\frac{27\pi}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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817、 5、 (15 分) 设 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 中有满足右手法则的坐标系 $\displaystyle (x,y,z)$. 又设 $\displaystyle \varGamma$ 是平面 $\displaystyle x+y=2$ 和球面

$$\begin{aligned} (x-1)^2+(y-1)^2+z^2=2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

相交所得到的圆周. 从原点看过去, 以顺时针方向为 $\displaystyle \varGamma$ 的正定向. 计算

$$\begin{aligned} \int_\varGamma y\mathrm{ d} x+z\mathrm{ d} y+x\mathrm{ d} z. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(中国科学技术大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 从 $\displaystyle y$ 轴正向看去, $\displaystyle \varGamma$ 为逆时针, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{Stokes}}& \iint_{(x-1)^2+(y-1)^2+z^2\leq 2\atop x+y=2} \left|\begin{array}{cccccccccc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ y&z&x \end{array}\right|\mathrm{ d} S\\\\ =&-\sqrt{2}\iint_{(x-1)^2+(y-1)^2+z^2\leq 2\atop x+y=2} \mathrm{ d} S =-\sqrt{2}\cdot \pi (\sqrt{2})^2 =-2\sqrt{2}\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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818、 8、 计算

$$\begin{aligned} \int_L \frac{\left(x-\frac{1}{2}-y\right)\mathrm{ d} x+\left(x-\frac{1}{2}+y\right)\mathrm{ d} y}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 是连接 $\displaystyle (0,-1), (0,1)$ 的曲线且位于 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},0\right)$ 的右侧. (中国科学院大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle (P,Q)=\frac{\left(x-\frac{1}{2}-y,x-\frac{1}{2}+y\right)}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2}$, 则 $\displaystyle Q_x=P_y$. 设 $\displaystyle \ell: (1,0)\xrightarrow{x=0}(-1,0)$, 则在 $\displaystyle \ell$ 上, $\displaystyle x=0, \mathrm{ d} x=0$,

$$\begin{aligned} \iint_\ell \cdots=&\int_1^{-1}\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)\mathrm{ d} y}{\frac{1}{4}+y^2}\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&\int_0^1 \frac{\mathrm{ d} y}{\frac{1}{4}+y^2}\stackrel{y=\frac{1}{2}\tan\theta}{=}\cdots =2\arctan 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

再取 $\displaystyle C_\varepsilon: \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\varepsilon^2$, 方向为逆时针, 由

$$\begin{aligned} \mbox{原式}+\int_\ell \cdots-\int_{C_\varepsilon} \cdots\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&-\int_{\ell}+\int_{C_\varepsilon}\cdots\\\\ =&-2\arctan 2+\frac{1}{\varepsilon^2}\oint_{C_\varepsilon} \left(x-\frac{1}{2}-y\right)\mathrm{ d} x+\left(x-\frac{1}{2}+y\right)\mathrm{ d} y\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Green}}&-2\arctan 2+\frac{1}{\varepsilon^2} \iint_{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2\leq \varepsilon^2} 2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&2\pi-2\arctan 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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819、 9、 证明:

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\iint_\varSigma \cos(\vec{r},\vec{n})\mathrm{ d} S=\iiint_V \frac{1}{r}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma$ 是包围 $\displaystyle V$ 的曲面, 原点在 $\displaystyle V$ 的外面,

$$\begin{aligned} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \vec{r}=(x,y,z), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle \vec{n}$ 是 $\displaystyle \varSigma$ 上的单位外法向量. (中国科学院大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} &\quad \frac{1}{2}\iint_{\partial \varOmega} \cos (\vec{r},\vec{n})\mathrm{ d} S =\frac{1}{2}\iint_{\partial\varOmega} \frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{n}\mathrm{ d} S\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}\frac{1}{2}\iiint_\varOmega\left[\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{r} +\frac{\partial}{\partial y}\frac{y}{r} +\frac{\partial}{\partial z}\frac{z}{r}\right]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ &=\frac{1}{2}\iiint_\varOmega\left[\frac{3}{r}-\frac{x^2+y^2+z^2}{r^3}\right]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z =\iiint_\varOmega\frac{\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z}{r}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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820、 3、 (10 分) 求曲线积分 $\displaystyle I=\oint_L\frac{x\mathrm{ d} y-y\mathrm{ d} x}{4x^2+9y^2}$, 其中 $\displaystyle L$ 是单位圆周 $\displaystyle x^2+y^2=1$, 方向为逆时针. (中国矿业大学(北京)2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle a=2, b=3$, 则 $\displaystyle (P,Q)=\frac{(-y,x)}{a^2x^2+b^2y^2}$, 算出 $\displaystyle Q_x=P_y$ 即知

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{Green}}&\int_{a^2x^2+b^2y^2=\varepsilon^2\ll 1}P\mathrm{ d} x+Q\mathrm{ d} y =\frac{1}{\varepsilon^2}\int_{a^2x^2+b^2y^2=\varepsilon^2}-y\mathrm{ d} x+x\mathrm{ d} y\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Green}}&\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{a^2x^2+b^2y^2\leq \varepsilon^2}2\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y \stackrel{ax=u, by=v}{=}\frac{2}{ab\varepsilon^2}\iint_{u^2+v^2\leq \varepsilon^2}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v =\frac{2\pi}{ab}=\frac{\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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821、 10、 (15 分) 求曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma x^3\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+y^3\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+(z^3+x^3+y^3)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^2-y^2}$, 取上侧. (中国矿业大学(北京)2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle S: x^2+y^2\leq 1, z=0$, 方向指向负 $\displaystyle z$ 轴, 则

$$\begin{aligned} \iint_S\cdots=-\iint_{x^2+y^2\leq 1}(x^3+y^3)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

据 Gauss 公式,

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\mbox{原式}+\iint_S \cdots =\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq 1\atop z\geq 0} (3x^2+3y^2+3z^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ &=3\int_0^1 r^2\cdot\frac{4\pi r^2}{2}\mathrm{ d} r=\frac{6\pi}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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822、 10、 证明: 若 $\displaystyle S$ 为封闭曲面, $\displaystyle \vec{l}$ 为任意固定的单位向量, 则 $\displaystyle \iint_S \cos\angle(\vec{n},\vec{l})\mathrm{ d} S=0$, 其中 $\displaystyle \vec{n}$ 是 $\displaystyle S$ 的单位外法向量, $\displaystyle \cos\angle(\vec{n},\vec{l})$ 是 $\displaystyle \vec{n}$ 和 $\displaystyle \vec{l}$ 的夹角余弦. (中国矿业大学(徐州)2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \vec{l}=\left\{a,b,c\right\}$, 则

$$\begin{aligned} \iint_S \cos\angle(\vec{n},\vec{l})\mathrm{ d} S=\iint_S a\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+b\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+c\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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823、 9、 (15 分) 设定义在 $\displaystyle \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}$ 的函数 $\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle (-\infty, 0)$ 及 $\displaystyle (0,+\infty)$ 有连续导数, $\displaystyle f(1)=0$. 试确定 $\displaystyle f$, 使得对任意与直线 $\displaystyle y=x$ 及 $\displaystyle y=-x$ 不相交的光滑闭曲线 $\displaystyle L$, 都有

$$\begin{aligned} \int_L [2-f(x^2-y^2)]y\mathrm{ d} x+f(x^2-y^2)x\mathrm{ d} y=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(中国人民大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 Green 公式知

$$\begin{aligned} &f'(x^2-y^2)\cdot 2x\cdot x+f(x^2-y^2)\\\\ &=-f'(x^2-y^2)\cdot(-2y)\cdot y+[2-f(x^2-y^2)],\\\\ &f'(x^2-y^2)(x^2-y^2)+f(x^2-y^2)=1,\\\\ &tf'(t)+f(t)=1.\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

由

$$\begin{aligned} &ty'+y=0\Rightarrow \frac{\mathrm{ d} y}{y}=-\frac{\mathrm{ d} t}{t} \Rightarrow \ln |y|=-\ln |t|\Rightarrow y=\frac{C}{t} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

及常数变易法知可设 $\displaystyle f(t)=\frac{C(t)}{t}$. 代入 $\displaystyle (I)$ 得

$$\begin{aligned} &C'(t)=1\Rightarrow C(t)=t+C\\\\ \Rightarrow& f(t)=\frac{t+C}{t}=1+\frac{C}{t} \stackrel{f(1)=0}{\Rightarrow}f(t)=1-\frac{1}{t}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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824、 (3)、 计算积分

$$\begin{aligned} \oint_L (\mathrm{e}^x-y^2)\mathrm{ d} x+(x^2+\mathrm{e}^y)\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L: \frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y-2)^2}{8}=1$, 方向为逆时针. (中南大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&2\iint_{\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(y-2)^2}{8}\leq 1} (x+y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ \stackrel{\boxed{\begin{array}{c}x=1+\sqrt{2}r\cos\theta\\\\y=2+2\sqrt{2}r\sin \theta\end{array}}}{=}&2\int_0^{2\pi}\mathrm{ d} \theta \int_0^1 (3+\sqrt{2}r\cos\theta+2\sqrt{2}r\sin\theta)\cdot 4r\mathrm{ d} r\\\\ =&24\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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825、 7、 (15 分) 设平面 $\displaystyle 3x+2z=3$ 与柱面 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 的交线为 $\displaystyle L$. (1)、 在交线 $\displaystyle L$ 上求一点 $\displaystyle P$, 使其到平面 $\displaystyle xOy$ 平面的距离最短; (2)、 求交线 $\displaystyle L$ 上上述点 $\displaystyle P$ 的切线方程; (3)、 若规定 $\displaystyle L$ 的方向为: 从 $\displaystyle x$ 轴的正向看去为逆时针方向, 试计算积分

$$\begin{aligned} \int_L (z-x)\mathrm{ d} y+(x-y)\mathrm{ d} z. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(中南大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 即求 $\displaystyle z$ 在约束条件 $\displaystyle 3x+2z=3, x^2+y^2=1$ 的极值. 这不用 Lagrange 乘数法. 为啥? 因为 $\displaystyle z=\frac{3(1-x)}{2}, x\in [-1,1]\Rightarrow \min z=z(1)=0, \max z=z(-1)=3$. 故距离最短为 $\displaystyle 3$. 此时, $\displaystyle x=-1, y=0, z=3$. (2)、 $\displaystyle 3x+2z=3$ 与柱面 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 在 $\displaystyle P(-1,0,3)$ 处的切向量为

$$\begin{aligned} \left.\frac{1}{-2}\left\{3,0,2\right\}\times\left\{x,y,0\right\}\right|_P=\left\{0,1,0\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而切线方程为 $\displaystyle \frac{x+1}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{0}$. (3)、

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Stokes}} \iint_{3x+2z=3\atop x^2+y^2\leq 1} \left|\begin{array}{cccccccccc}\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z&\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x&\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ 0&z-x&x-y \end{array}\right|\\\\ &=\iint_{3x+2z=3\atop x^2+y^2\leq 1} -2\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x-\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=\iint_{3x+2z=3\atop x^2+y^2\leq 1} \frac{-2\cdot 3+1\cdot 0-1\cdot 2}{\sqrt{13}}\mathrm{ d} S =\iint_{x^2+y^2\leq 1}\frac{-8}{\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=-4\iint_{x^2+y^2\leq 1}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=-4\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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826、 8、 (15 分) 求曲线积分

$$\begin{aligned} \int_L \mathrm{e}^y\cos x\mathrm{ d} x+(\mathrm{e}^y\sin x-x^2)\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 为右半圆 $\displaystyle x^2+y^2=ay\ (y\geq 0)$, 方向从 $\displaystyle (0,0)$ 到 $\displaystyle (0,a)$. (中山大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \ell: (0,a)\xrightarrow{x=0}(0,0)$, 则 $\displaystyle \int_\ell\cdots=0$, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\mbox{原式}+\int_\ell\cdots\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \iint_{x^2+y^2\leq ay\atop 0\leq x\leq \frac{a}{2}} -2x\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &\stackrel{x=r\cos\theta, y=r\sin\theta}{=}\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \theta\int_0^{a\sin \theta} (-2r\cos\theta)\cdot r\mathrm{ d} r =-\frac{a^3}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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827、 9、 (15 分) 求 $\displaystyle \iint_\varSigma x^2\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$, 其中 $\displaystyle \varSigma$ 为 $\displaystyle (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=1$, 方向取外侧. (中山大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle V$ 为 $\displaystyle \varSigma$ 的内部, 则

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&\iiint_V 2x\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z \stackrel{x-1=u, y-2=v, z-3=w}{=}\iiint_{u^2+v^2+w^2 < 1}2(u+1)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&2\iiint_{u^2+v^2+w^2 < 1}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w =2\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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828、 (5)、 计算曲面积分

$$\begin{aligned} I=\iint_S x^3\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+y^3\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+z^3\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ 的外侧, $\displaystyle a,b,c$ 为常数, $\displaystyle R > 0$ 为半径. (重庆大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} I&\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iiint_{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\leq R^2}(3x^2+3y^2+3z^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ &\stackrel{x-a=u,\cdots}{=}3\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq R^2} [(a+u)^2+(b+v)^2+(c+w)^2]\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 3\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq R^2} (a^2+b^2+c^2+u^2+v^2+w^2)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ &=3\int_0^R (a^2+b^2+c^2+r^2)\cdot 4\pi r^2\mathrm{ d} r =\frac{4\pi R^5}{5}(5a^2+5b^2+5c^2+3R^2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

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