北京大学2018年数学直博考试试题

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北京大学2018年数学直博考试试题

数学分析部分, 共四道大题, 每道大题 25 分, 满分 100 分; 高等代数部分, 共三道大题, 满分 70 分; 几何学部分, 共一道大题, 30 分.

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1、

(1)、 (10 分) 证明隐函数 $\displaystyle y+\sin (xy)-x=0$ 在 $\displaystyle x=0$ 附近可以确定一个哈函数关系 $\displaystyle y=f(x)$.

(2)、 (5 分) 试简单回答这个函数的光滑度 (不必证明).

(3)、 (10 分) 求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的三阶导数 $\displaystyle f'''(0)$.

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2、

(1)、 (10 分) 叙述积分第一中值定理, 并给出一个几何解释.

(2)、 (10 分) 叙述一个函数 $\displaystyle g(x)\equiv 1$, 另一个函数 $\displaystyle f(x)$ 单调时的积分第二中值定理 (三种情况), 并给出一个几何解释.

(3)、 (5 分) 请问 (2) 中函数 $\displaystyle f(x)$ 的单调性是实质性条件还是技术性条件 (自由畅谈). 如果是实质性条件, 那么本质是什么? 如果是技术性的, 在哪方面提供了哪些方便?

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3、 (25 分) 在考虑函数 $\displaystyle f(x)$ 在给定区间上的傅里叶级数

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

的收敛时, $\displaystyle f(x)$ 的光滑性与级数的收敛速度之间有没有一定的关系? 请给出一个你自己的理解和描述.

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4、

(1)、 (10 分) 试讨论广义积分 $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}\frac{\sin x}{x}\mathrm{ d} x$ 的收敛性.

(2)、 (10 分) 使讨论广义重积分 $\displaystyle \iint_D \frac{\sin x}{x}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$, 其中 $\displaystyle D=\mathbb{R}\times [0,1]$ 的敛散性.

(3)、 (5 分) 请对上述结论给出一个你认为合理且本质的解释.

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5、 (20 分) 求集合 $\displaystyle \left\{A\in M_{7\times 7}(\mathbb{R}); A^3=0\right\}$ 中矩阵的秩的最大值.

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6、 (30 分) 设 $\displaystyle V$ 是有限维实内积空间, $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r,\beta_1,\cdots,\beta_r\in V$. 假设存在非零向量 $\displaystyle \alpha\in V$ 使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^r \left < \alpha,\alpha_i\right > \beta_i=0$. 证明存在非零向量 $\displaystyle \beta\in V$ 使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^r \left < \beta,\beta_i\right > \alpha_i=0$.

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7、 (20 分) 证明对任意 $\displaystyle 3\times 3$ 复矩阵, 存在 $\displaystyle 3\times 3$ 酉矩阵 $\displaystyle U$, 使得 $\displaystyle UAU^{-1}$ 为形如 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccc}\star &0&\star \\\\ \star &\star &0\\\\ \star &0&\star \end{array}\right)$ 的矩阵.

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8、 (30 分) 对于空间仿射坐标系中的马鞍面 $\displaystyle S: z=xy$, 记 $\displaystyle G$ 为所有保持 $\displaystyle S$ 作为点集不变的空间仿射变换构成的群. 试决定空间中所有这样的直线 $\displaystyle L$, 使得对于任意的 $\displaystyle G$ 中变换 $\displaystyle g$, 直线 $\displaystyle g(L)$ 都与 $\displaystyle L$ 平行或重合.

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