张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第70天
1588、 9、 (16 分) 设 $\displaystyle V$ 是 $\displaystyle n$ 维欧氏空间, $\displaystyle V_1,V_2$ 是 $\displaystyle V$ 的子空间, 且 $\displaystyle \dim V_1 < \dim V_2$. 证明: 存在 $\displaystyle 0\neq \alpha\in V_2$ 使得 $\displaystyle \alpha\perp V_1$. (中南大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \dim (V_2\cap V_1^\perp)&=\dim V_2+\dim V_1^\perp-\dim (V_2\cap V_1^\perp)\\\\ &=\dim V_2+(n-\dim V_1)-\dim (V_2\cap V_1^\perp)\\\\ &=(\dim V_2-\dim V_1)+\left[n-\dim (V_2\cap V_1^\perp)\right]\\\\ &\geq \dim V_2-\dim V_1 > 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \exists\ 0\neq \alpha\in V_2\cap V_1^\perp$. 此 $\displaystyle \alpha$ 即满足题意.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1589、 10、 (15 分)设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle 3$ 阶正定矩阵, $\displaystyle v_1,\cdots,v_k$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 中的 $\displaystyle k$ 个列向量, 满足
$$\begin{aligned} \forall\ i,j\in\left\{1,\cdots,k\right\}: i\neq j, v_i^\mathrm{T} Av_j\leq-\frac{1}{2023}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle v_i^\mathrm{T}$ 表示 $\displaystyle v_i$ 的转置. 证明: $\displaystyle k\leq 4$. (中山大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 我们给出一般的结论. 在 $\displaystyle n$ 维欧几里得空间中, 设 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 中的任意两个不同向量之间的夹角均为钝角. 证明: $\displaystyle m\leq n+1$. 用反证法. 若 $\displaystyle m\geq n+2$, 则
$$\begin{aligned} (\alpha_i,\alpha_j) < 0, \forall\ 1\leq i\neq j\leq m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
我们可以证明其中任意 $\displaystyle n+1$ 个向量线性无关. 比如我们证明 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_{n+1}$ 线性无关. 用反证法. 若存在不全为 $\displaystyle 0$ 的 $\displaystyle k_i\in\mathbb{R}$, 使得
$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n+1}k_i\alpha_i=0\Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1}k_i(\alpha_i,\alpha_{n+2})=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
注意到 $\displaystyle (\alpha_i,\alpha_{n+2}) < 0$, 我们知 $\displaystyle k_1,\cdots,k_{n+1}$ 有正有负,
$$\begin{aligned} &\sum_{k_i < 0}k_i\alpha_i+\sum_{k_i > 0}k_i\alpha_i=0\\\\ \Rightarrow&\alpha=\sum_{k_i > 0}k_i\alpha_i=-\sum_{k_i < 0}k_i\alpha_i\\\\ \Rightarrow&(\alpha,\alpha)=\left(\sum_{k_i > 0}k_i\alpha_i, -\sum_{k_j < 0}k_j\alpha_j\right) =-\sum_{k_i > 0}\sum_{k_j < 0}k_ik_j(\alpha_i,\alpha_j) < 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一个矛盾. 故 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_{n+1}$ 线性无关, $\displaystyle \dim V\geq n+1$, 这与题设 $\displaystyle \dim V=n$ 矛盾. 故有结论. (2)、 回到题目. 考虑 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 在内积 $\displaystyle (v,w)=v^\mathrm{T} Aw$ 下构成欧氏空间, 而由第 1 步知 $\displaystyle k\leq 3+1=4$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1590、 12、 (15 分) 在 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 上规定内积
$$\begin{aligned} \left((a_1,a_2,a_3,a_4)^\mathrm{T}, (b_1,b_2,b_3,b_4)^\mathrm{T}\right)=\sum_{i=1}^4 a_ib_i. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
已知 $\displaystyle \gamma_1=(1,0,0,0)^\mathrm{T}, \gamma_2=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^\mathrm{T}$. 求 $\displaystyle \gamma_3,\gamma_4$ 使得 $\displaystyle \gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 的一个标准正交基. (重庆师范大学2023年高等代数考研试题) [欧氏空间 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知
$$\begin{aligned} &\alpha_1=\gamma_1=(1,0,0,0)^\mathrm{T}, \alpha_2=\gamma_2=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^\mathrm{T},\\\\ &\alpha_3=(0,0,1,0)^\mathrm{T}, \alpha_3=(0,0,0,1)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 的一个基, 对他们施行 Gram-Schmidt 标准正交化过程即得 $\displaystyle \mathbb{R}^4$ 的一组标准正交基
$$\begin{aligned} &\gamma_1=(1,0,0,0)^\mathrm{T}, \gamma_2=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^\mathrm{T},\\\\ &\gamma_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0,-\frac{1}{2\sqrt{3}},\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right)^\mathrm{T}, \gamma_4=\left(0,-\frac{2}{\sqrt{6}},0,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1591、 7、 分为几问. (1)、 计算外积. (2)、 求曲面切平面. (3)、 求柱面或旋转面方程. (4)、 与直纹面有关的关系. (5)、 判断二次曲面的类型. (北京师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [解析几何 ]
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1592、 8、 给定两条一面直线, 求通过公垂线中点且与公垂线垂直的平面方程. (北京师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [解析几何 ]
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1593、 9、 给定二次型曲面, 将其转化为标准方程, 并判断类型. (北京师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [解析几何 ]
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1594、 8、 (20 分) 在直角坐标系下, 已知一点 $\displaystyle M_0(1,2,0)$ 和一条直线
$$\begin{aligned} L: \left\{\begin{array}{llllllllllll}x-y-z+2=0,\\\\ 2x-3y+3=0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
求 $\displaystyle M_0$ 到 $\displaystyle L$ 的距离, 并写出过 $\displaystyle M_0$ 且与 $\displaystyle L$ 垂直相交的直线方程. (东北师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [解析几何 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle L$ 的第 $\displaystyle 2$ 个方程知 $\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y-1}{2}=t$. 代入第 $\displaystyle 1$ 个方程得 $\displaystyle z=1+t$. 故 $\displaystyle L$ 的点向式方程为
$$\begin{aligned} \frac{x}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而 $\displaystyle L$ 过点 $\displaystyle P(0,1,1)$, 方向向量为 $\displaystyle \vec{t}=\left\{3,2,1\right\}$. $\displaystyle M_0$ 到 $\displaystyle L$ 的距离
$$\begin{aligned} d=\left|\overrightarrow{PM}\times\frac{\vec{t}}{|\vec{t}|}\right| =\sqrt{\frac{13}{7}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
过 $\displaystyle M_0$ 且与 $\displaystyle L$ 垂直相交的直线 $\displaystyle \ell$ 的方向向量为
$$\begin{aligned} \frac{(\overrightarrow{PM}\times \vec{t})\times \vec{t}}{2}=\left\{-1,-3,9\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle \ell$ 的方程为 $\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{9}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1595、 9、 (10 分) 设函数 $\displaystyle f: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$,
$$\begin{aligned} f(M)=Ax+By+Cz+D,\quad \forall\ M(x,y,z)\in\mathbb{R}^3, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle A,B,C,D$ 是不全为零的实数. 证明: 如果三点 $\displaystyle M_0,M_1,M_2$ 共线, 且
$$\begin{aligned} \overrightarrow{M_1M_0}=\lambda\overrightarrow{M_0M_2}, \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\neq -1, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
那么 $\displaystyle f(M_0)=\frac{f(M_1)+\lambda f(M_2)}{1+\lambda}$. (东北师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [解析几何 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle M_i (x_i,y_i,z_i), i=0,1,2$, 则由题中等式知
$$\begin{aligned} x_0-x_1=\lambda(x_2-x_0)\Rightarrow x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
同理, $\displaystyle y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}, z_0=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}$. 代入 $\displaystyle f$ 的表达式即知 $\displaystyle f(M_0)=\frac{f(M_1)+\lambda f(M_2)}{1+\lambda}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1596、 10、 (20 分) 证明: 双曲抛物面同族的任意两条直母线必是异面直线, 且同族的全体直母线平行于同一个平面. (东北师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [解析几何 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 双曲抛物面 $\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right), a,b > 0$ 的两组直母线为 (1)、 $\displaystyle (I)_\lambda$:
$$\begin{aligned} \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\lambda, z=\lambda\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right) \Leftrightarrow\frac{x}{a}=\frac{y-b\lambda}{-b}=\frac{z+\lambda^2}{2\lambda}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
过点 $\displaystyle P_\lambda(0,b\lambda,-\lambda^2)$, 方向向量为 $\displaystyle \vec{v}_\lambda=\left\{a,-b,2\lambda\right\}$; (2)、 $\displaystyle (II)_\mu$:
$$\begin{aligned} \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=\mu, z=\mu\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right) \Leftrightarrow\frac{x}{a}=\frac{y+b\mu}{b}=\frac{z+\mu^2}{2\mu}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
过点 $\displaystyle P_\mu(0,-b\mu,-\mu^2)$, 方向向量为 $\displaystyle \vec{v}_\mu=\left\{a,b,2\mu\right\}$. 由
$$\begin{aligned} \left(\overrightarrow{P_\lambda P_{\lambda'}},\vec{v}_\lambda,\vec{v}_{\lambda'}\right)=-2ab(\lambda-\lambda')^2\neq 0,\\\\ \left(\overrightarrow{Q_\mu Q_{\mu'}},\vec{w}_\mu,\vec{w}_{\mu'}\right)=2ab(\mu-\mu')^2\neq 0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即知双曲抛物面同族的任意两条直母线必是异面直线. 又由
$$\begin{aligned} \vec{v}_\lambda\cdot \left\{b,a,0\right\}=0, \vec{w}_\mu\cdot \left\{-b,a,0\right\}=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知同族的全体直母线平行于同一个平面.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1597、 6、 (15 分) 证明:
$$\begin{aligned} \left(\vec{\alpha}\times \vec{\beta},\vec{\beta}\times \vec{\gamma}, \vec{\gamma}\times \vec{\alpha}\right)=\left|\begin{array}{cccccccccc}\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}&\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}&\vec{\alpha}\cdot \vec{\gamma}\\\\ \vec{\beta}\cdot\vec{\alpha}&\vec{\beta}\cdot \vec{\beta}&\vec{\beta}\cdot \vec{\gamma}\\\\ \vec{\gamma}\cdot\vec{\alpha}&\vec{\gamma}\cdot \vec{\beta}&\vec{\gamma}\cdot \vec{\gamma}\end{array}\right|, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \left(\vec{\alpha}\times \vec{\beta},\vec{\beta}\times \vec{\gamma}, \vec{\gamma}\times \vec{\alpha}\right)$ 表示向量 $\displaystyle \vec{\alpha}\times \vec{\beta},\vec{\beta}\times \vec{\gamma}$ 和 $\displaystyle \vec{\gamma}\times \vec{\alpha}$ 的混合积. (吉林大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [解析几何 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{左端}=&\left[\left(\vec{\alpha}\times \vec{\beta}\right)\times \left(\vec{\beta}\times \vec{\gamma}\right)\right] \cdot \left(\vec{\gamma}\times \vec{\alpha}\right)\\\\ =&\left\{ \left[(\vec{\beta}\times \vec{\gamma})\cdot\vec{\alpha}\right]\vec{\beta} -\left[\vec{\beta}\cdot \left(\vec{\beta}\times \vec{\gamma}\right)\right]\vec{\alpha} \right\}\cdot(\vec{\gamma}\times \vec{\alpha})\\\\ =&\left[(\vec{\beta}\times \vec{\gamma})\cdot\vec{\alpha}\right] \cdot \left[(\vec{\gamma}\times \vec{\alpha})\cdot \vec{\beta}\right]-0\\\\ =&\left|(\vec{\alpha}\times \vec{\beta})\cdot \vec{\gamma}\right|^2 =|(\alpha,\beta,\gamma)|^2=\left|\begin{array}{cccccccccc}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha^\mathrm{T}\\\\ \beta^\mathrm{T}\\\\ \gamma^\mathrm{T}\end{array}\right)(\alpha,\beta,\gamma)\end{array}\right|\\\\ =&\left|\begin{array}{cccccccccc}\alpha^\mathrm{T}\alpha&\alpha^\mathrm{T}\beta&\alpha^\mathrm{T} \gamma\\\\ \beta^\mathrm{T}\alpha&\beta^\mathrm{T}\beta&\beta^\mathrm{T} \gamma\\\\ \gamma^\mathrm{T}\alpha&\gamma^\mathrm{T}\beta&\gamma^\mathrm{T} \gamma\end{array}\right| =\left|\begin{array}{cccccccccc}\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}&\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}&\vec{\alpha}\cdot \vec{\gamma}\\\\ \vec{\beta}\cdot\vec{\alpha}&\vec{\beta}\cdot \vec{\beta}&\vec{\beta}\cdot \vec{\gamma}\\\\ \vec{\gamma}\cdot\vec{\alpha}&\vec{\gamma}\cdot \vec{\beta}&\vec{\gamma}\cdot \vec{\gamma}\end{array}\right|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1598、 7、 (15 分) 求单叶双曲面 $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}-z^2=1$ 上过点 $\displaystyle (3,4,1)$ 的直母线方程. (吉林大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [解析几何 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\frac{x^2}{9}-z^2=1-\frac{y^2}{16} \Leftrightarrow \left(\frac{x}{3}+z\right)\left(\frac{x}{3}-z\right)=\left(1+\frac{y}{4}\right)\left(1-\frac{y}{4}\right)\\\\ \Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{llllllllllll}\lambda\left(\frac{x}{3}+z\right)=\mu\left(1+\frac{y}{4}\right),\\\\ \mu\left(\frac{x}{3}-z\right)=\lambda\left(1-\frac{y}{4}\right);\end{array}\right.\mbox{或} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\lambda\left(\frac{x}{3}+z\right)=\mu\left(1-\frac{y}{4}\right),\\\\ \mu\left(\frac{x}{3}-z\right)=\lambda\left(1+\frac{y}{4}\right).\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle P_0(x_0,y_0,z_0)=(3,4,1)$, 两族直母线方程的参数分别满足 $\displaystyle \lambda=\mu, \lambda=0$, 而它们分别为
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll}\frac{x}{3}-\frac{y}{4}+z-1=0,\\\\ \frac{x}{3}+\frac{y}{4}-z-1=0;\end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{llllllllllll}y=4,\\\\ x-3z=0.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1599、 8、 (20 分) 证明曲面
$$\begin{aligned} x^2+2y^2+3z^2-2xz+4yz-2z+4=0 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
与任意一个平面的交集不可能是双曲线. (吉林大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [解析几何 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 二次型 $\displaystyle x^2+2y^2+3z^2-2xz+4yz$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&2&2\\\\ -1&2&3\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 3+\sqrt{3},3-\sqrt{3},0$. 故这是一张椭圆抛物面, 与任意平面的交线是椭圆或抛物线, 一定不是双曲线.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1600、 (2)、 已知直线
$$\begin{aligned} x-a=\frac{y-5}{-3}=\frac{z-8}{5} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
与
$$\begin{aligned} \frac{x+3}{-3}=\frac{y+4}{12}=\frac{z+7}{-14} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
相交, 则参数 $\displaystyle a=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, 交点到平面 $\displaystyle 2x-5y+19z=0$ 的距离为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [解析几何 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 第一条直线过点 $\displaystyle P(a,5,8)$, 方向向量为 $\displaystyle \vec{l}_1=\left\{1,-3,5\right\}$; 第二条直线过点 $\displaystyle Q (-3,-4,-7)$, 方向向量为 $\displaystyle \vec{l}_2=\left\{-3,-4,-7\right\}$. 由题设,
$$\begin{aligned} 0=\left(\overrightarrow{PQ},\vec{l}_1,\vec{l_2}\right) =\left|\begin{array}{cccccccccc}-3-a&-9&-15\\\\ 1&-3&5\\\\ -3&12&-14\end{array}\right|=18(a+1). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle a=-1$. 代入第一个方程利用 $\displaystyle x$ 表示出 $\displaystyle y,z$ 代入第二个方程, 解得交点为 $\displaystyle (-18,56,-77)$. 它到题中平面的距离利用公式即为 $\displaystyle 593\sqrt{\frac{3}{130}}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1601、 (3)、 平面上线性变换
$$\begin{aligned} \mathscr{A} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&2\\\\ 2&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将单位圆 $\displaystyle C$ 变成椭圆 $\displaystyle E$, 椭圆 $\displaystyle E$ 长半轴的长度为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [解析几何 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mathscr{A}(e_1,e_2)=(e_1,e_2)A, A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&2\\\\ 2&3\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 5,1$ 知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 把单位圆 $\displaystyle C$ 变成的了椭圆 $\displaystyle E$, 长半轴长度为 $\displaystyle 5$, 短半轴长度为 $\displaystyle 1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1602、 2、 解答题 (共 90 分, 需写出详细的解答过程). (1)、 (15 分) 设给定直角坐标系下二次曲面的方程为
$$\begin{aligned} xy-2yz+2y-3z-1=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
试用正交变换和平移将其化为标准方程, 并判断这是什么类型的曲面? (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [解析几何 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 二次项的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&\frac{1}{2}&0\\\\ \frac{1}{2}&0&-1\\\\ 0&-1&0\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2},-\frac{\sqrt{5}}{2},0$. 由
$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{5}}{2}E-A&\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&\frac{1}{2}\\\\ 0&1&\frac{\sqrt{5}}{2}\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), -\frac{\sqrt{5}}{2}E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&\frac{1}{2}\\\\ 0&1&-\frac{\sqrt{5}}{2}\\\\ 0&0&0 \end{array}\right),\\\\ 0E-A\to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&-2\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2},-\frac{\sqrt{5}}{2},0$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\-\sqrt{5}\\\\2 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\\sqrt{5}\\\\2 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\0\\\\1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \xi_1,\xi_2,\xi_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \eta_1,\eta_2,\eta_3$. 令
$$\begin{aligned} P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} -\frac{1}{\sqrt{10}}&-\frac{1}{\sqrt{10}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\\ \frac{2}{\sqrt{10}}&\frac{2}{\sqrt{10}}&\frac{1}{\sqrt{5}} \end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\left(\frac{\sqrt{5}}{2},-\frac{\sqrt{5}}{2},0\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故经过正交变换 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\\\\z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}u\\\\v\\\\w\end{array}\right)$ 后, 二次项化为
$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{5}}{2}u^2-\frac{\sqrt{5}}{2}v^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
此时, 一次项化为
$$\begin{aligned} 2y-3z=&(0,2,-3)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x\\\\y\\\\z\end{array}\right) =(0,2,-3)P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}u\\\\v\\\\w\end{array}\right)\\\\ =&\left(-\frac{6}{\sqrt{10}}-\sqrt{2}\right)u +\left(-\frac{6}{\sqrt{10}}+\sqrt{2}\right)v -\frac{3w}{\sqrt{5}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再作平移变换
$$\begin{aligned} u-\left(\frac{2}{\sqrt{10}}+\frac{3\sqrt{2}}{5}\right)=U, v-\left(\frac{2}{\sqrt{10}}-\frac{3\sqrt{2}}{5}\right)=V, w=W, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则二次曲线化为
$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{5}}{2}U^2-\frac{\sqrt{5}}{2}V^2-\frac{3}{\sqrt{5}}W=\frac{17}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这是一张双曲抛物面.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1603、 6、 给定 $\displaystyle x_0 > 0$ 以及 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续函数 $\displaystyle f(x)$. 证明: 至多具有一个定义于 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续函数 $\displaystyle y(x)$ 满足对于任意的 $\displaystyle x > 0$, 有
$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{ d} y}{\mathrm{ d} x}=-y^3+f(x), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle y(0)=y_0$. (复旦大学2023年分析(第6,7,8,9,10题没做)考研试题) [常微分方程 ]
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1604、 7、 分析 $\displaystyle \left\{(x,y); x^2+y^2 < 1\right\}$ 上的实系统
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{llllllllllll} \frac{\mathrm{ d} x}{\mathrm{ d} t}=f(x,y),\\\\ \frac{\mathrm{ d} y}{\mathrm{ d} t}=g(x,y),\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中
$$\begin{aligned} f(x,y)=&\left\{\begin{array}{llllllllllll}-x+\frac{2y}{\ln(x^2+y^2)},&(x,y)\neq (0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0);\end{array}\right.\\\\ g(x,y)=&\left\{\begin{array}{llllllllllll}-y+\frac{2x}{\ln(x^2+y^2)},&(x,y)\neq (0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0)\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
的所有奇点, 并确定其类型, 并画出取点附近的大致相图, 并与之对应的一次近似系统做比较. (复旦大学2023年分析(第6,7,8,9,10题没做)考研试题) [常微分方程 ]
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1605、 7、 第 3 题 20 分, 其余各题 10 分, 共 60 分. (1)、 求解微分方程 $\displaystyle y=(y'-1)\mathrm{e}^{y'}$. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [常微分方程 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle y'=p$, 则 $\displaystyle y=(p-1)\mathrm{e}^p$, 关于 $\displaystyle x$ 求导有
$$\begin{aligned} p=p\mathrm{e}^p\cdot\frac{\mathrm{ d} p}{\mathrm{ d} x}\Leftrightarrow \mathrm{e}^p\mathrm{ d} p=\mathrm{ d} x\Leftrightarrow x=\mathrm{e}^p+C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故原方程的通解为 $\displaystyle x=\mathrm{e}^p+C, y=(p-1)\mathrm{e}^p, C$ 为任意常数.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1606、 (2)、 求解微分方程 $\displaystyle y''-y=x\mathrm{e}^x\cos x$. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [常微分方程 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 先求 $\displaystyle y''-y=0$ 的通解. 它的特征方程为 $\displaystyle \lambda^2-1=0$, 而通解为 $\displaystyle y=C_1\mathrm{e}^x+C_2\mathrm{e}^{-x}$. 由常数变易法知原方程的通解可设为
$$\begin{aligned} y=C_1(x)\mathrm{e}^x+C_2(x)\mathrm{e}^{-x}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中
$$\begin{aligned} &C_1'(x)\mathrm{e}^x+C_2'(x)\mathrm{e}^{-x}=0, C_1'(x)\mathrm{e}^x-C_2'(x)\mathrm{e}^{-x}=x\mathrm{e}^x \cos x\\\\ \Rightarrow&C_1'(x)=\frac{1}{2}x\cos x, C_2'(x)=-\frac{1}{2}x\mathrm{e}^{2x}\cos x\\\\ \Rightarrow&C_1(x)=\frac{1}{2}(\cos x+x\sin x)+c_1,\\\\ &C_2(x)=-\frac{1}{50}\mathrm{e}^{2x}\left[(10x-3)\cos x+(5x-4)\sin x\right]+c_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故原方程的通解为
$$\begin{aligned} y=&c_1\mathrm{e}^x+c_2\mathrm{e}^{-x} +\frac{1}{25}\mathrm{e}^x\left[(14-5x)\cos x+2(1+5x)\sin x\right], \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle c_1,c_2$ 为任意常数.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1607、 (3)、 求 $\displaystyle x'=Ax$ 的基本解组, 其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&4&2\\\\ 0&-3&4\\\\ 0&4&3\end{array}\right)$. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [常微分方程 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 5,1,-5$. 由
$$\begin{aligned} &5E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&1&-\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0 \end{array}\right), E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0 \end{array}\right),\\\\ &-5E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&1&2\\\\ 0&0&0 \end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 5,1,-5$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\1\\\\2 \end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\0 \end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-2\\\\1 \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle x'=Ax$ 的一个基本解组为
$$\begin{aligned} \mathrm{e}^{5t}\eta_1=\mathrm{e}^{5t}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\\\1\\\\2\end{array}\right), \mathrm{e}^t\eta_2=\mathrm{e}^t\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\0\\\\0\end{array}\right), \mathrm{e}^{-5t}\eta_3=\mathrm{e}^{-5t}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-2\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1608、 (4)、 解方程 $\displaystyle y=\frac{3}{2}(y')^2-2y'x+x^2$. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [常微分方程 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle y'=p$, 则 $\displaystyle y'=\frac{3}{2}p^2-2px+x^2$. 关于 $\displaystyle x$ 求导有
$$\begin{aligned} &p=3p\frac{\mathrm{ d} p}{\mathrm{ d} x}-2\frac{\mathrm{ d} p}{\mathrm{ d} x}x-2p+2x \Leftrightarrow (3p-2x)\frac{\mathrm{ d} p}{\mathrm{ d} x}=3p-2x\\\\ \Leftrightarrow&3p-2x=0\mbox{或} \frac{\mathrm{ d} p}{\mathrm{ d} x}=1 \Leftrightarrow p=\frac{2x}{3}\mbox{或} x+C. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故原方程的通解为
$$\begin{aligned} y=&\frac{3}{2}(x+C)^2-2(x+C)x+x^2=\frac{1}{2}(x^2+2Cx+3C^2), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且有特解 $\displaystyle y=\frac{x^2}{3}$ ($p=\frac{2x}{3}$ 对应的特解).跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1609、 (5)、 求区域 $\displaystyle G$, 使得当 $\displaystyle (x_0,y_0)\in G$ 时, 初值问题 $\displaystyle \left\{\begin{array}{llllllllllll}y'=2\sqrt{1+y},\\\\ y(x_0)=y_0\end{array}\right.$ 的解存在且唯一. (山东大学2023年高等代数与常微分方程考研试题) [常微分方程 ]
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$$\begin{aligned} &y'=2\sqrt{1+y}\Rightarrow \frac{\mathrm{ d} y}{2\sqrt{1+y}}=\mathrm{ d} x \Rightarrow \mathrm{ d} \sqrt{1+y}=\mathrm{ d} x\\\\ \Rightarrow& \sqrt{1+y}=x+C \stackrel{y(x_0)=y_0}{\Rightarrow} \sqrt{1+y_0}=x_0+C\\\\ \Rightarrow& \sqrt{1+y}=x+\sqrt{1+y_0}-x_0 \Rightarrow y=\left(x+\sqrt{1+y_0}-x\right)^2-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle G=\left\{(x,y); x\in\mathbb{R}, y > -1\right\}$. 注意当 $\displaystyle y_0=-1$ 时解不唯一:
$$\begin{aligned} y(x)\equiv -1, y(x)=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\left(x+\sqrt{1-y_0}-x\right)^2-1,&x < x_0-\sqrt{1+y_0},\\\\ -1,&x\geq x_0-\sqrt{1+y_0}.\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1610、 (2)、 (15 分) 解线性常微分方程组
$$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} \frac{\mathrm{ d} x}{\mathrm{ d} t}=&7x&+&9y,\\\\ \frac{\mathrm{ d} y}{\mathrm{ d} t}=&-6x&-&8y, \end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle x=x(t)$ 及 $\displaystyle y=y(t)$. (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [常微分方程 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}7&9\\\\ -6&-8\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,-2$. 由
$$\begin{aligned} E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\frac{3}{2}\\\\ 0&0\end{array}\right),\quad -E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\\\ 0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1,-2$ 的特征向量分别为
$$\begin{aligned} \xi_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-3\\\\2\end{array}\right),\quad \xi_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle P=(\xi_1,\xi_2)$, 则
$$\begin{aligned} &P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,-2), P^{-1}\mathrm{e}^{At}P=\mathrm{diag}(\mathrm{e}^t, \mathrm{e}^{-2t}),\\\\ &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x(t)\\\\y(t)\end{array}\right)=\mathrm{e}^{At}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a\\\\b\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3(a+b)\mathrm{e}^t-(2a+3b)\mathrm{e}^{-2t}\\\\ -2(a+b)\mathrm{e}^t+(2a+3b)\mathrm{e}^{-2t}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle a,b$ 为任意常数.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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