张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第56天
1266、 (0-7)、 用 $\displaystyle J$ 表示元素全为 $\displaystyle 1$ 的 $\displaystyle n$ 阶方阵 ($n\geq 2$), $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c\in\mathbb{R}[x]$, 则 $\displaystyle f(J)$ 的全部特征值为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (长安大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \mathrm{rank} J=1$ 知 $\displaystyle Jx=0$ 的基础解系有 $\displaystyle n-1$ 个向量 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-1}$. 设 $\displaystyle \eta_n=(1,\cdots,1)^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle J\eta_n=n\eta_n$. 于是
$$\begin{aligned} &P\equiv(\eta_1,\cdots,\eta_n)\Rightarrow JP=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0_{n-1}&\\\\ &n\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow& P^{-1}f(J)P=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}cE_{n-1}&\\\\ &an^2+bn+c\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故应填 $\displaystyle \underbrace{c,\cdots,c}_{n-1},an^2+bn+c$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1267、 (0-8)、 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0\\\\ -1&-1&-1&-1\\\\ 1&1&1&1\\\\ 2&2&2&0\end{array}\right)$ 的最小多项式为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (长安大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,0,0,0$. 由 $\displaystyle A\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0\\\\ 0&1&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right)$ 知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} J=\mathrm{rank} A=3\Rightarrow J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&&\\\\ &0&1&\\\\ &&0&\\\\ &&&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle \lambda^3(\lambda-1)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1268、 5、 (20 分) 证明如下结论: (0-13)、 设 $\displaystyle A$ 是实反对称矩阵, 则 $\displaystyle (E-A)(E+A)^{-1}$ 是正交矩阵; (长安大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\quad (E-A)(E+A)^{-1}\left[(E-A)(E+A)^{-1}\right]^\mathrm{T}\\\\ =&(E-A)(E+A)^{-1}(E-A)^{-1}(E+A)\\\\ =&(E-A)\left[(E-A)(E+A)\right]^{-1}(E+A)\\\\ =&(E-A)\left[(E+A)(E-A)\right]^{-1}(E+A) =E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1269、 (0-14)、 设 $\displaystyle A=(a_{ij})_{m\times n}, B=(b_{ij})_{n\times s}$, 则
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(AB)\geq \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B-n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(长安大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -A&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&B\\\\ A&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-B\\\\ 0&E\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ 0&-AB\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\leq \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&B\\\\ A&0\end{array}\right)\\\\ =&\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ 0&-AB\end{array}\right)=n+\mathrm{rank}(AB). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1270、 9、 (15 分) 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&0&1\\\\ 1&2&0\\\\ -4&0&3\end{array}\right)$, 求 $\displaystyle A$ 的若尔当标准形 $\displaystyle J$ 及可逆矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle J=P^{-1}AP$. (长安大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2,1,1$. 由
$$\begin{aligned} A-2E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right), A-E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-E)=\mathrm{rank}(A-E)=2\Rightarrow J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&&\\\\ &1&1\\\\ &&1\end{array}\right)$. 设 $\displaystyle P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, 则
$$\begin{aligned} (A-2E)\alpha_1=0, (A-E)\alpha_2=0, (A-E)\alpha_3=\alpha_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故可取 $\displaystyle \alpha_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\\\1\\\\0\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-1\\\\2\end{array}\right)$. 再由
$$\begin{aligned} (A-E,\alpha_2)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知可取 $\displaystyle \alpha_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{2}\\\\-\frac{1}{2}\\\\0\end{array}\right)$. 因此, $\displaystyle P=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&-\frac{1}{2}\\\\ 1&-1&-\frac{1}{2}\\\\ 0&2&0\end{array}\right), J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&&\\\\ &1&1\\\\ &&1\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1271、 (2)、 设 $\displaystyle A$ 是奇数阶的正交矩阵, 且 $\displaystyle A-E$ 可逆, 则 $\displaystyle |A|=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (郑州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle |A-E|\neq 0$, 而 $\displaystyle A$ 的实特征值只能为 $\displaystyle -1$. 又由 $\displaystyle A$ 的虚特征值成对出现, 而可设 $\displaystyle A$ 的特征值为
$$\begin{aligned} a_i\pm b_i\left(1\leq i\leq s\right), \underbrace{-1,\cdots,-1}_{n-2s}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而 $\displaystyle |A|=\prod_{i=1}^s (a_i^2+b_i^2)\cdot (-1)^{n-2s}=-1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1272、 (4)、 设 $\displaystyle \alpha=(a,b,c)^\mathrm{T}, \beta=\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle (\alpha\beta^\mathrm{T})^n=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (郑州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \beta^\mathrm{T} \alpha=3$ 知
$$\begin{aligned} (\alpha\beta^\mathrm{T})^n=\alpha (\beta^\mathrm{T} \alpha)^{n-1}\beta^\mathrm{T}=3^{n-1}\alpha\beta^\mathrm{T}=3^{n-1}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\frac{a}{b}&\frac{a}{c}\\\\ \frac{b}{a}&1&\frac{b}{c}\\\\ \frac{c}{a}&\frac{c}{b}&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1273、 (4)、 设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}?\end{array}\right)$, 求 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$, 并求可逆矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^{-1}AP=J$. [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.] (郑州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / [题目有问题, 跟锦数学微信公众号没法做哦.]跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1274、 (5)、 设 $\displaystyle A,B$ 都是三阶可逆矩阵, $\displaystyle A,B$ 的每行元素之和分别为 $\displaystyle a,b$. 记 $\displaystyle A^\star, B^\star$ 分别为 $\displaystyle A,B$ 的伴随矩阵. (5-1)、 证明 $\displaystyle A^{-1}$ 的每行元素之和为 $\displaystyle \frac{1}{a}$; (5-2)、 求 $\displaystyle A^\star B^\star$ 的每行元素之和. (郑州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (5-1)、 设 $\displaystyle e=(1,\cdots,1)^\mathrm{T}$, 则
$$\begin{aligned} Ae=ae\Rightarrow \frac{1}{a}e=A^{-1}e\Rightarrow \mbox{$A^{-1}$ 的每行元素之和为 $\displaystyle \frac{1}{a}$}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(5-2)、
$$\begin{aligned} &A^\star B^\star e=(|A|A^{-1})(|B|B^{-1})e=|A|\cdot |B|A^{-1}B^{-1}e\\\\ =&|A|\cdot |B|A^{-1}\frac{1}{b}e =|A|\cdot |B|\frac{1}{b}\frac{1}{a}e =\frac{|A|\cdot |B|}{ab}e. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A^\star B^\star$ 的每行元素之和为 $\displaystyle \frac{|A|\cdot |B|}{ab}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1275、 (6)、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle k\times n$ 矩阵, 且 $\displaystyle B$ 行满秩. 证明: $\displaystyle AX=0$ 与 $\displaystyle BX=0$ 同解的充要条件是存在 $\displaystyle m\times k$ 列满秩矩阵 $\displaystyle Q$, 使得 $\displaystyle A=QB$. (郑州大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: $\displaystyle BX=0\Rightarrow AX=QBX=0$. 反之, 由 $\displaystyle \mathrm{rank} Q=k$ 知 $\displaystyle QY=0$ 只有零解, 而
$$\begin{aligned} AX=0\Rightarrow QBX=0\Rightarrow BX=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle AX=0, BX=0$ 同解. (2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由 $\displaystyle \mathrm{rank} B=k$ 知 $\displaystyle BX=0$ 的基础解系有 $\displaystyle n-k$ 个向量 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-k}$. 由 $\displaystyle AX=0, BX=0$ 同解知
$$\begin{aligned} n-\mathrm{rank} A=n-k\Rightarrow \mathrm{rank} A=k, A(\eta_1,\cdots,\eta_{n-k})=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\beta_1\\\\\vdots\\\\\beta_k\end{array}\right)^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank} B=k$, $\displaystyle BX=0$ 的基础解系有 $\displaystyle n-k$ 个向量 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-k}$. 设 $\displaystyle C=(\eta_1,\cdots,\eta_{n-k})$, 则
$$\begin{aligned} BC=0\Rightarrow 0=C^\mathrm{T} B^\mathrm{T}=C^\mathrm{T}(\beta_1^\mathrm{T},\cdots,\beta_{n-k}^\mathrm{T}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle \mathrm{rank}(C^\mathrm{T})=n-k, \mathrm{rank}(\beta_1^\mathrm{T}, \cdots,\beta_{n-k}^\mathrm{T})=n-k$ 知 $\displaystyle C^\mathrm{T} X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \beta_1^\mathrm{T},\cdots,\beta_{n-k}^\mathrm{T}$. 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\alpha_1^\mathrm{T}\\\\\vdots\\\\\alpha_m\end{array}\right)$, 则由必要性假设知
$$\begin{aligned} &AC=0\Rightarrow C^\mathrm{T} (\alpha_1^\mathrm{T},\cdots,\alpha_m^\mathrm{T})=0 \Rightarrow \alpha_i^\mathrm{T}=\sum_{j=1}^k q_{ji}\beta_j^\mathrm{T}\\\\ \Rightarrow& (\alpha_1^\mathrm{T},\cdots,\alpha_m^\mathrm{T})=(\beta_1^\mathrm{T},\cdots,\beta_k^\mathrm{T})Q^\mathrm{T} \Rightarrow A=QB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle \mathrm{rank} Q\geq \mathrm{rank}(QB)=\mathrm{rank} A=k\Rightarrow \mathrm{rank} Q=k$ 知 $\displaystyle Q$ 列满秩.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1276、 (4)、 已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 1&0&0&0\end{array}\right)$, 则 $\displaystyle A^4=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, 方阵 $\displaystyle A$ 的特征值分别为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A^4=E_4$, $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 4$ 次单位根 $\displaystyle 1,\mathrm{ i}, -1,-\mathrm{ i}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1277、 (7)、 方阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-2&1\\\\ 2&-3&2\\\\ 3&-6&4\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国科学技术大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值全为 $\displaystyle 1$. 又由
$$\begin{aligned} A-E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-2&1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-E)=1\Rightarrow J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&\\\\ &1&\\\\ &&1\end{array}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1278、 3、 设 $\displaystyle f$ 是一元多项式, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵. (1)、 设 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 是 $\displaystyle B$ 的所有特征值, 证明: $\displaystyle f(\lambda_1),\cdots, f(\lambda_n)$ 是 $\displaystyle f(B)$ 的所有特征值. (2)、 设 $\displaystyle f$ 是 $\displaystyle A$ 的特征多项式. 证明: $\displaystyle A,B$ 有公共特征值的充要条件是 $\displaystyle f(B)$ 是奇异的. (中国科学院大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 Jordan 标准形理论知存在复可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} &P^{-1}BP=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&\star&\star\\\\ &\ddots&\star\\\\ &&\lambda_n\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&P^{-1}f(B)P=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}f(\lambda_1)&\star&\star\\\\ &\ddots&\star\\\\ &&f(\lambda_n)\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&|\lambda E_n-f(B)|=\prod_{i=1}^n |\lambda -f(\lambda_i)|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f(\lambda_1),\cdots, f(\lambda_n)$ 是 $\displaystyle f(B)$ 的所有特征值. (2)、 只要证明 $\displaystyle A,B$ 没有公共特征值的充要条件是 $\displaystyle f(B)$ 是非奇异的. (2-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 设 $\displaystyle g$ 是 $\displaystyle B$ 的特征多项式, 则 $\displaystyle A,B$ 没有公共特征值等价于
$$\begin{aligned} &(f,g)=1\Leftrightarrow \exists\ u,v,\mathrm{ s.t.} uf+vg=1\\\\ \Leftrightarrow&E_n=u(B)f(B)+v(B)g(B)=u(B)f(B) \Rightarrow f(B)\mbox{非奇异}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 反之, 若 $\displaystyle f(B)$ 非奇异, 先证 $\displaystyle AX=XB$ 只有零解. 事实上, 若 $\displaystyle X$ 是一个解, 则 $\displaystyle A^kX=XB^k, \forall\ k\geq 1$,
$$\begin{aligned} 0=f(A)X=Xf(B)\stackrel{f(B)\mbox{非奇异}}{\Rightarrow}X=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再用反证法证 $\displaystyle A,B$ 没有公共特征值. 若有, 比如 $\displaystyle \lambda_0$, 则由 $\displaystyle |\lambda E-B|=|\lambda E-B^\mathrm{T}|$ 知 $\displaystyle \lambda_0$ 也是 $\displaystyle B^\mathrm{T}$ 的特征值, 而
$$\begin{aligned} \exists\ \alpha\neq 0,\ \beta\neq 0,\mathrm{ s.t.} A\alpha=\lambda_0\alpha,\ B^\mathrm{T} \beta=\lambda_0\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
取 $\displaystyle X=\alpha\beta^\mathrm{T}\neq 0$, 则
$$\begin{aligned} AX=&A\alpha \beta^\mathrm{T}=\lambda \alpha \beta^\mathrm{T},\\\\ XB=&\alpha\beta^\mathrm{T} B =\alpha(B^\mathrm{T} \beta)^\mathrm{T} =\alpha (\lambda \beta)^\mathrm{T} =\lambda \alpha\beta^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
因此, $\displaystyle AX=XB$ 有非零解 $\displaystyle X$. 这与已证矛盾.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1279、 7、 设实反对称矩阵 $\displaystyle A$ 是可逆的, $\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}^n$, 试求 $\displaystyle \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&0\end{array}\right)$. (中国科学院大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 是可逆的反对称矩阵知 $\displaystyle A^{-1}$ 也是反对称矩阵, 而 $\displaystyle \alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha=0$. 再由
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -\alpha^\mathrm{T} A^{-1}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A^{-1}\alpha\\\\ 0&1\end{array}\right)\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&0\\\\ 0&-\alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&0\\\\ 0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathrm{rank} B=\mathrm{rank} A=n$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1280、 9、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶实矩阵. 证明: 存在正交矩阵 $\displaystyle Q$, 使得 $\displaystyle Q^\mathrm{T} AQ$ 为对角矩阵的充要条件是 $\displaystyle A$ 的特征值均为实数且 $\displaystyle A^\mathrm{T} A=AA^\mathrm{T}$. (中国科学院大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 由必要性假设知
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} AQ=\varLambda =\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \lambda_i\in\mathbb{R}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle A$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 都是实数, 且
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} A^\mathrm{T} Q=\varLambda\Rightarrow A^\mathrm{T} A&=Q\varLambda Q^\mathrm{T} Q\varLambda Q^\mathrm{T} =Q\varLambda^2Q^\mathrm{T}\\\\ &=Q\varLambda Q^\mathrm{T} Q\varLambda Q^\mathrm{T} =AA^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: (2-1)、 先利用 $\displaystyle A$ 的特征值都是实数证明 $\displaystyle A$ 正交相似与上三角矩阵. 对 $\displaystyle n$ 作数学归纳法. 取 $\displaystyle A$ 的属于实特征值 $\displaystyle \lambda_1$ 的单位特征向量 $\displaystyle \eta_1$, 并将其扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_n$, 并设 $\displaystyle P=(\eta_1,\cdots,\eta_n)$, 则
$$\begin{aligned} AP=P\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&\star \\\\ 0&A_1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle A_1$ 的特征值就是 $\displaystyle A$ 除了 $\displaystyle \lambda_1$ 之外的特征值, 都是实数. 据归纳假设, 存在正交阵 $\displaystyle Q$ 使得 $\displaystyle Q^\mathrm{T} A_1Q$ 为上三角矩阵. 令 $\displaystyle R=P\mathrm{diag}(1,Q)$, 则 $\displaystyle R$ 正交, 且 $\displaystyle R^\mathrm{T} AR$ 为上三角矩阵. (2-2)、 由第 1 步知
$$\begin{aligned} R^\mathrm{T} AR=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&\star&\star\\\\ &\ddots&\star\\\\ &&\lambda_n\end{array}\right)\Rightarrow R^\mathrm{T} A^\mathrm{T} R=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&&\\\\ \star&\ddots&\\\\ \star&\star&\lambda_n\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle A^\mathrm{T} A=AA^\mathrm{T}$
$$\begin{aligned} \Rightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&&\\\\ \star&\ddots&\\\\ \star&\star&\lambda_n\end{array}\right) \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&\star&\star\\\\ &\ddots&\star\\\\ &&\lambda_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&\star&\star\\\\ &\ddots&\star\\\\ &&\lambda_n\end{array}\right) \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&&\\\\ \star&\ddots&\\\\ \star&\star&\lambda_n\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
比较 $\displaystyle (1,1)$ 元即知 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&&\\\\ \star&\ddots&\\\\ \star&\star&\lambda_n\end{array}\right)$ 的 $\displaystyle (1,j)$ ($j\geq 2$) 元都是 $\displaystyle 0$. 继续比较 $\displaystyle (2,2)$ 元知 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&&\\\\ \star&\ddots&\\\\ \star&\star&\lambda_n\end{array}\right)$ 的 $\displaystyle (2,j)$ ($j\geq 3$) 元都是 $\displaystyle 0$. 等等. 如此这般, $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\lambda_1&&\\\\ \star&\ddots&\\\\ \star&\star&\lambda_n\end{array}\right)=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$. 证毕.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1281、 (5)、 合同于单位矩阵的是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
A. $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&0\\\\ 1&0&1\end{array}\right)$
B. $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 1&1&1\\\\ 1&1&1\end{array}\right)$
C. $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2&1\\\\ 2&7&1\\\\ 1&1&8\end{array}\right)$
D. $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-1&2\\\\ -1&3&-\frac{3}{2}\\\\ 2&-\frac{3}{2}&-4\end{array}\right)$ (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle C$. $\displaystyle A$ 第 $\displaystyle 1,3$ 行相同, 而 $\displaystyle \mathrm{rank} A=2$, $\displaystyle \mathrm{rank} B=1$. 于是 $\displaystyle A,B$ 不可逆, 而不正定. $\displaystyle C$ 的顺序主子式都大于 $\displaystyle 0$, 而 $\displaystyle C$ 正定. $\displaystyle D$ 中 $\displaystyle 0 > -4=d_{33}=e_3^\mathrm{T} De_3$ 而 $\displaystyle D$ 不正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1282、 (8)、 有关正交矩阵说法正确的是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
A. 特征值全为实数
B. 特征值的模一定等于 $\displaystyle 1$
C. 特征值两两互异
D. 线性无关的特征向量正交 (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle B$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1283、 5、 已知 $\displaystyle A,B$ 均为正定矩阵, 证明: $\displaystyle AB$ 也是正定矩阵当且仅当 $\displaystyle AB=BA$. (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 一言以蔽之, 正定矩阵的乘积正定的充要条件是这两个矩阵可交换. (1)、 $\displaystyle \Rightarrow$:
$$\begin{aligned} AB=(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}=BA . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle A$ 正定知存在正交阵 $\displaystyle Q$ 使得
$$\begin{aligned} Q^\mathrm{T} AQ=\mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \varLambda_i$ 是以 $\displaystyle \lambda_i > 0$ 为对角元的对角阵, 且各 $\displaystyle \lambda_i$ 互异. 于是
$$\begin{aligned} AB=BA&\Leftrightarrow Q^\mathrm{T} AQ\cdot Q^\mathrm{T} BQ=Q^\mathrm{T} BQ\cdot Q^\mathrm{T} AQ\\\\ &\Leftrightarrow \mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s)\tilde{B}=\tilde{B}\mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s)\left(\tilde{B}=Q^\mathrm{T} BQ\right)\\\\ &\Leftrightarrow \varLambda_i\tilde{B}_{ij} =\tilde{B}_{ij}\varLambda_j\left(\tilde{B}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\tilde{B}_{11}&\cdots&\tilde{B}_{1s}\\\\ \vdots&\ddots&\vdots\\\\ \tilde{B}_{s1}&\cdots&\tilde{B}_{ss}\end{array}\right)\right)\\\\ &\Leftrightarrow \tilde{B}_{ij}=0\left(i\neq j\right)\\\\ &\Leftrightarrow \tilde{B}=\mathrm{diag}(\tilde{B}_{11},\cdots,\tilde{B}_{ss}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由 $\displaystyle B$ 正定知 $\displaystyle \tilde{B}=Q^\mathrm{T} BQ$ 正定, $\displaystyle \tilde{B}_{11},\cdots,\tilde{B}_{ss}$ 也正定. 于是存在正交阵 $\displaystyle R_i$, 使得
$$\begin{aligned} R_i^\mathrm{T} \tilde{B}_{ii}R_i=D_i, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle D_i$ 为对角阵. 取
$$\begin{aligned} P=Q\mathrm{diag}(R_1,\cdots,R_s), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P$ 正交, 且
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP&=\mathrm{diag}(R_1^\mathrm{T},\cdots,R_s^\mathrm{T})\mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s) \mathrm{diag}(R_1,\cdots,R_s)\\\\ &=\mathrm{diag}(\varLambda_1,\cdots,\varLambda_s),\\\\ P^\mathrm{T} BP&=\mathrm{diag}(R_1^\mathrm{T},\cdots,R_s^\mathrm{T})\mathrm{diag}(\tilde{B}_{11},\cdots,\tilde{B}_{ss}) \mathrm{diag}(R_1,\cdots,R_s)\\\\ &=\mathrm{diag}(D_1,\cdots,D_s). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} ABP=\mathrm{diag}(\lambda_1\mu_1,\cdots,\lambda_n\mu_n), \lambda_i\mu_i > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle AB$ 正定.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1284、 6、 $\displaystyle A,B$ 为 $\displaystyle n$ 阶方阵, 且 $\displaystyle (A+B)^{-1}, (A-B)^{-1}$ 都存在, 说明 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&B\\\\ B&A\end{array}\right)$ 可逆, 并求其逆. (中国矿业大学(北京)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ E&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&B\\\\ B&A\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -E&E\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-B&B\\\\ 0&A+B\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-B(A+B)^{-1}\\\\ 0&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-B&B\\\\ 0&A+B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-B&\\\\ &A+B\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle 0\neq |A-B|\cdot |A+B|=\left|\begin{array}{cccccccccc}A&B\\\\ B&A\end{array}\right|$, 而 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&B\\\\ B&A\end{array}\right)$ 可逆, 且
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&B\\\\ B&A\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -E&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}(A-B)^{-1}&\\\\ &(A+B)^{-1}\end{array}\right)\\\\ &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-B(A+B)^{-1}\\\\ 0&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ E&E\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
经过化简后, 得所求矩阵的逆为
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\boxed{\begin{array}{c}(A-B)^{-1}\\\\-(A-B)^{-1}B(A+B)^{-1}\end{array}}&-(A-B)^{-1}B(A+B)^{-1}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}(A-B)^{-1}+(A+B)^{-1}\\\\-(A-B)^{-1}B(A+B)^{-1}\end{array}}&\boxed{\begin{array}{c}(A+B)^{-1}\\\\-(A-B)^{-1}B(A+B)^{-1}\end{array}}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1285、 (2)、 设 $\displaystyle A,B$ 为 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 且 $\displaystyle |A|=3, |B|=6, |A^{-1}+B|=8$, 则 $\displaystyle |A+B^{-1}|=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &|A+B^{-1}|=|A(A^{-1}+B)B^{-1}|\\\\ =&|A|\cdot |A^{-1}+B|\cdot |B|^{-1}=3\cdot 8\cdot \frac{1}{6}=4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1286、 (4)、 下列关于方阵 $\displaystyle A,B$ 以及伴随矩阵 $\displaystyle A^\star, B^\star$ 说法正确的有 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
A. 若 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 相似, 则 $\displaystyle A^\star$ 与 $\displaystyle B^\star$ 也相似.
B. 若 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 相似, 则 $\displaystyle A^\star$ 与 $\displaystyle B^\star$ 未必相似.
C. 若 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 合同, 则 $\displaystyle A^\star$ 与 $\displaystyle B^\star$ 也合同.
D. 若 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 合同, 则 $\displaystyle A^\star$ 与 $\displaystyle B^\star$ 未必合同. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle AC$. 若 $\displaystyle A,B$ 相似, 则存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=B\Rightarrow P^\star A^\star (P^\star)^{-1}=B^\star. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
若 $\displaystyle A,B$ 合同, 则存在可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=B\Rightarrow P^\star A^\star P^{-\mathrm{T} \star}=B^\star. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1287、 (7)、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle 3$ 阶矩阵, $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle 2$, 且
$$\begin{aligned} A\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&3\\\\ -1&0\\\\ 2&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&6\\\\ 1&0\\\\ -2&4\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A$ 的迹等于 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \alpha=(1,-1,2)^\mathrm{T},\beta=(3,0,2)^\mathrm{T}$, 则由题设,
$$\begin{aligned} A\alpha=-\alpha, A\beta=2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
联合 $\displaystyle \mathrm{rank} A=2$ 知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 0,-1,2$, 而 $\displaystyle \mathrm{tr} A=0-1+2=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1288、
(10)、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 满足 $\displaystyle |A|=6$, 且 $\displaystyle A+A^\star=5E_n$, 其中 $\displaystyle A^\star$ 表示 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵, $\displaystyle E_n$ 是 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵, 则 $\displaystyle A$ 的最小多项式是 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (中国矿业大学(徐州)2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设,
$$\begin{aligned} &5A=A\cdot 5E=A(A+A^\star)=A^2+|A|E=A^2+6E\\\\ \Rightarrow& A^2-5A+6E=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(x)\mid (x^2-5x+6)\Rightarrow m(x)=x-2\mbox{或} x-3\mbox{或} x^2-5x+6$. (10-1)、 若 $\displaystyle m(x)=x-2$, 则 $\displaystyle A=2E\Rightarrow |A|=2^n\neq 6$, 矛盾. (10-2)、 若 $\displaystyle m(x)=x-3$, 则 $\displaystyle A=3E\Rightarrow |A|=3^n\neq 6$, 矛盾. 故 $\displaystyle m(x)=x^2-5x+6$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
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