张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第54天
1220、 4、 证明: 任意秩为 $\displaystyle r$ 的实对称矩阵, 可以分解为 $\displaystyle r$ 个秩为 $\displaystyle 1$ 的实对称矩阵之和. (天津大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A$ 是秩为 $\displaystyle r$ 的实对称矩阵, 则存在正交阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} A=P\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0)P^\mathrm{T}, 0\neq \lambda_i\in\mathbb{R}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle B_i=\lambda_i PE_{ii}P^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle B_i$ 是秩为 $\displaystyle 1$ 的实对称矩阵, 且
$$\begin{aligned} A=B_1+\cdots+B_r. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1221、 2、 实矩阵
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2\\\\ 2&a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&b\\\\ 3&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明: (1)、 矩阵方程 $\displaystyle AX=B$ 有解但 $\displaystyle BY=A$ 无解的充要条件是 $\displaystyle a\neq 2,b=\frac{4}{3}$; (2)、 $\displaystyle A$ 相似于 $\displaystyle B$ 的充要条件是 $\displaystyle a=3,b=\frac{2}{3}$; (3)、 $\displaystyle A$ 合同于 $\displaystyle B$ 的充要条件是 $\displaystyle a < 2, b=3$. (武汉大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由线性方程组理论知
$$\begin{aligned} AX=B\mbox{有解}\Leftrightarrow \mathrm{rank}(A,B)=\mathrm{rank}(A). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
对 $\displaystyle (A,B)$ 施行初等行变换知
$$\begin{aligned} (A,B)&=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2&4&b\\\\ 2&a&3&1\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2&4&b\\\\ 0&a-2&-1&1-b\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故当且仅当 $\displaystyle a\neq 2$ 时, $\displaystyle \mathrm{rank}(A)=2=\mathrm{rank}(A,B)$. 同理, 由
$$\begin{aligned} (B,A)&=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&b&2&2\\\\ 3&1&2&a\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&b&2&2\\\\ 0&1-\frac{3b}{4}&\frac{1}{2}&a-\frac{3}{2}\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle BY=A$ 无解 $\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm{rank}(B)\neq \mathrm{rank}(B,A)\Leftrightarrow 1-\frac{3b}{4}=0\Leftrightarrow b=\frac{4}{3}$. (2)、 (2-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$:
$$\begin{aligned} A\sim B&\Rightarrow \mathrm{tr} A=\mathrm{tr} B, |A|=|B|\Rightarrow a=3, b=\frac{2}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$:
$$\begin{aligned} a=3, b=\frac{2}{3}&\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2\\\\ 2&3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&\frac{2}{3}\\\\ 3&1\end{array}\right)\\\\ &\Rightarrow A,B\mbox{的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^2-5\lambda+2=0$, 无重根}\\\\ &\Rightarrow A,B\mbox{相似于同一对角阵}\Rightarrow A\sim B . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3)、 (3-1)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 若 $\displaystyle A,B$ 合同, 则 $\displaystyle B$ 也是对称矩阵, 故 $\displaystyle b=3$. 由
$$\begin{aligned} B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&3\\\\ 3&1\end{array}\right)&\Rightarrow \mbox{ $\displaystyle B$ 的特征值为 $\displaystyle \frac{5+3\sqrt{5}}{2},\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$}\\\\ &\Rightarrow \mbox{ $\displaystyle B$ 的正负惯性指数均为 $\displaystyle 1$}\\\\ &\Rightarrow\mbox{ $\displaystyle A$ 的正负惯性指数均为 $\displaystyle 1$}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2\\\\ 2&a\end{array}\right)&\Rightarrow A\mbox{的特征值为 $\displaystyle \frac{2+a\pm\sqrt{20-4a+a^2}}{2}$} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} 20-4a+a^2 > 0, 2+a < \sqrt{20-4a+a^2}\Leftrightarrow a < 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(3-2)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 若 $\displaystyle a < 2, b=3$, 则由必要性的论证知 $\displaystyle A,B$ 合同.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1222、 7、 (20 分) 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m$ 阶方阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵, $\displaystyle Q$ 是 $\displaystyle m\times n$ 矩阵, $\displaystyle f_A(x), f_B(x)$ 是 $\displaystyle A,B$ 的特征多项式. (1)、 证明: $\displaystyle f_B(A)$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle \left(f_A(x),f_B(x)\right)=1$; (2)、 证明: 若 $\displaystyle \left(f_A(x),f_B(x)\right)=1$, 且 $\displaystyle AQ=QB$, 则 $\displaystyle Q=0$. (武汉大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 (1-1)、 $\displaystyle \Leftarrow$: 由 $\displaystyle \left(f_A(x),f_B(x)\right)=1$ 知
$$\begin{aligned} &\exists\ u(x),v(x),\mathrm{ s.t.} u(x)f_A(x)+v(x)f_B(x)=1\\\\ \Rightarrow& E=u(A)f_A(A)+v(A)f_B(A)\xlongequal[\tiny\mbox{Cayley}]{\tiny\mbox{Hamilton-}} v(A)f_B(A)\Rightarrow f_B(A)\mbox{可逆}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1-2)、 $\displaystyle \Rightarrow$: 用反证法. 若 $\displaystyle \left(f_A(x),f_B(x)\right)\neq 1$, 则 $\displaystyle A,B$ 有公共特征值 $\displaystyle \lambda$. 由 $\displaystyle |\lambda E-B\mathrm{T}|=|\lambda E-B|$ 知 $\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle B^\mathrm{T}$ 的特征值. 设 $\displaystyle 0\neq \alpha,0\neq \beta$ 分别是 $\displaystyle A,B^\mathrm{T}$ 对应于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量, $\displaystyle X=\alpha\beta^\mathrm{T}$, 则
$$\begin{aligned} A\alpha=\lambda \alpha, B^\mathrm{T} \beta=\lambda \beta, AX=\lambda \alpha\beta^\mathrm{T} =\alpha(\lambda \beta)^\mathrm{T} =\alpha\beta^\mathrm{T} B=XB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由
$$\begin{aligned} &A^{k-1}X=XB^{k-1}\\\\ \Rightarrow& A^kX=A^{k-1}AX=A^{k-1}XB=XB^{k-1}B=XB^k \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及数学归纳法知 $\displaystyle A^kX=XB^k, \forall\ k\geq 1$. 从而
$$\begin{aligned} f_B(A)X=Xf_B(B)=X0=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle f_B(A)$ 可逆知 $\displaystyle X=0$. 这与 $\displaystyle \alpha\neq 0,\beta\neq 0\Rightarrow X=\alpha\beta^\mathrm{T}\neq 0$ 矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1223、 8、 (20 分) $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 且有 $\displaystyle n$ 个特征值为偶数. 证明: 关于 $\displaystyle X$ 的矩阵方程 $\displaystyle X+AX-XA^2=0$ 只有零解. (武汉大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle X+AX-XA^2=0\Leftrightarrow (E+A)X=XA^2$. 由 $\displaystyle E+A$ 的特征值都是奇数, $\displaystyle A^2$ 的特征值都是偶数知 $\displaystyle E+A,A^2$ 没有公共特征值, 它们对应的特征多项式互素. 由上一题第 2 问即知 $\displaystyle X=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1224、 4、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&-1\\\\ -1&1&1\\\\ 0&-4&-2\end{array}\right), \alpha_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\-2\end{array}\right)$. (1)、 若 $\displaystyle A\alpha_2=\alpha_1, A^2\alpha_3=\alpha_1$, 求所有的 $\displaystyle \alpha_2,\alpha_3$. (2)、 判断 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是否线性无关, 并证明之. (武汉理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由 $\displaystyle (A,\alpha_1)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\\ 0&1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right)$ 知
$$\begin{aligned} \alpha_2=k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\-1\\\\2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{2}\\\\ \frac{1}{2}\\\\ 0\end{array}\right),\quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由
$$\begin{aligned} (A^2,\alpha_1)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2&0&-1\\\\ -2&-2&0&1\\\\ 4&4&0&-2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0&-\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0&0\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \alpha_3=k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{2}\\\\0\\\\0\end{array}\right),\quad \forall\ k. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 易知 $\displaystyle A\alpha_1=0$, 而 $\displaystyle A^2\alpha_2=0, A^3\alpha_3=0$. 设 $\displaystyle 0=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3$, 则用 $\displaystyle A^2$ 作用得
$$\begin{aligned} 0=k_3A^2\alpha_3=k_3\alpha_1\Rightarrow k_3=0\Rightarrow 0=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再用 $\displaystyle A$ 作用得
$$\begin{aligned} 0=k_2A\alpha_2=k_2\alpha_1\Rightarrow k_2=0\Rightarrow 0=k_1\alpha_1\Rightarrow k_1=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1225、 5、 实对称矩阵 $\displaystyle A$ 的行元素之和为 $\displaystyle 3$, 并且
$$\begin{aligned} \alpha_1=(-1,2,-1)^\mathrm{T}, \alpha_2=(0,-1,1)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为 $\displaystyle AX=0$ 的解. (1)、 求 $\displaystyle A$ 的所有特征值及特征向量. (2)、 求正交矩阵 $\displaystyle Q$ 以及对角阵 $\displaystyle \varLambda$ 满足 $\displaystyle Q^\mathrm{T} AQ=\varLambda$. (武汉理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 取 $\displaystyle \alpha_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\1\end{array}\right)$, 则设 $\displaystyle P=\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&0&1\\\\ 2&-1&1\\\\ -1&1&1\end{array}\right)$ 后,
$$\begin{aligned} AP=P\mathrm{diag}(0,0,3)\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ 1&1&1\\\\ 1&1&1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 0$ (二重), $\displaystyle 3$ (单重), 对应的特征向量分别为 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2; \alpha_3$. (2)、 将 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 标准正交化为 $\displaystyle \beta_1,\beta_2,\beta_3$, 并设
$$\begin{aligned} Q=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ \frac{2}{\sqrt{6}}&0&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle Q$ 正交, 且 $\displaystyle Q^\mathrm{T} AQ=\mathrm{diag}(0,0,3)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1226、 9、 已知 $\displaystyle n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A,B$ 满足 $\displaystyle A+2B=AB$. 求证: (1)、 $\displaystyle AB=BA$; (2)、 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 有公共的特征向量. (武汉理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} &(A-2E)(B-E)=AB-A-2B+2E=2E\\\\ \Rightarrow&2E=(B-E)(A-2E)=BA-2B-A+2E\\\\ \Rightarrow&BA=2B+A\xlongequal{\tiny\mbox{题设}} AB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 设 $\displaystyle \lambda_1$ 是 $\displaystyle A$ 的特征值, $\displaystyle V_{\lambda_1}$ 是对应的特征子空间. 由
$$\begin{aligned} ABX&=BAX=B(\lambda_1X)=\lambda_1BX \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle BX\in V_{\lambda_1}$. $\displaystyle B$ 作为 $\displaystyle V_{\lambda_1}$ 上的线性变换, 有特征值 $\displaystyle \mu_1$ 和对应的特征向量 $\displaystyle \eta_1$. 于是 $\displaystyle \eta_1$ 就是 $\displaystyle A,B$ 的公共特征向量.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1227、 3、 (15 分) 设 $\displaystyle A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, 且 $\displaystyle I_n+A$ 可逆, 其中 $\displaystyle I_n$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位阵, 令 $\displaystyle c(A)=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}$. (1)、 证明: $\displaystyle I_n+c(A)$ 可逆; (2)、 求 $\displaystyle c\left(c(A)\right)$. (西安电子科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle c(A)(I+A)=I-A$
$$\begin{aligned} \Rightarrow [I+c(A)] (I+A)=(I+A)+(I-A)=2I\Rightarrow I+c(A)\mbox{可逆}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由第 1 步知 $\displaystyle \left[I+C(A)\right]^{-1}=\frac{I+A}{2}$, 而
$$\begin{aligned} &c\left(c(A)\right)=\left[I-c(A)\right]\left[I+c(A)\right]^{-1} =\left[I-c(A)\right]\frac{I+A}{2}\\\\ =&\frac{1}{2}\left\{2I-\left[I+c(A)\right]\right\}(I+A) =(I+A)-I=A. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1228、 8、 (15 分) 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&&\\\\ 1&\ddots&\ddots&\\\\ &\ddots&\ddots&1\\\\ &&1&0\end{array}\right)$. (1)、 求 $\displaystyle A$ 的不变因子; (2)、 证明: $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个两两互异的实特征值. (西安电子科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle \forall\ \lambda\in\mathbb{R}, \lambda E-A$ 的右上角有一个 $\displaystyle n-1$ 阶的子式 $\displaystyle =(-1)^{n-1}\neq 0$, 而 $\displaystyle \mathrm{rank}(\lambda E-A)\geq n-1$, 且 $\displaystyle A$ 的行列式因子为 $\displaystyle 1,\cdots,1,|\lambda E-A|$, 不变因子为 $\displaystyle 1,\cdots,1,|\lambda E-A|$. (2)、 由 $\displaystyle A$ 实对称知 $\displaystyle A$ 可对角化, 而 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 可表示为 $\displaystyle A$ 的特征子空间的直和:
$$\begin{aligned} \mathbb{R}^n=V_{\lambda_1}\oplus \cdots\oplus V_{\lambda_s}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_s$ 是 $\displaystyle A$ 的互异特征值. 对任意 $\displaystyle 1\leq i\leq s$,
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} (\lambda_iE-A)\geq n-1\Rightarrow \dim V_{\lambda_i}\leq 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
但 $\displaystyle V_{\lambda_i}$ 作为特征子空间, 含有非零向量, 而 $\displaystyle \dim V_{\lambda_i}\geq 1$. 各 $\displaystyle \dim V_{\lambda_i}=1$,
$$\begin{aligned} n=\dim\mathbb{R}^n=\sum_{i=1}^s \dim V_{\lambda_i}=s. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个互异特征值.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1229、 9、 (15 分) 设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&-2&6\\\\ -1&0&3\\\\ -1&-1&4\end{array}\right)$, 求 $\displaystyle A^k$. (西安电子科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 1$ (三重). 由
$$\begin{aligned} A-E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&-3\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(J-E)=\mathrm{rank}(A-E)=1\Rightarrow J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&\\\\ &1&\\\\ &&1\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
且 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1$ 的特征向量为
$$\begin{aligned} \xi_1=(-1,1,0)^\mathrm{T}, \xi_2=(3,0,1)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设可逆矩阵 $\displaystyle P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$ 使得 $\displaystyle P^{-1}AP=J$, 则
$$\begin{aligned} (A-E)\eta_1=0, (A-E)\eta_2=\eta_1, (A-E)\eta_3=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \eta_1,\eta_2$ 是 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 1$ 的特征向量. 为求 $\displaystyle \eta_2$, 由
$$\begin{aligned} (A-E,k\xi_1+l\xi_2)&=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} -2&-2&6&-k+3l\\\\ -1&-1&3&k\\\\ -1&-1&3&k \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&0&-k+l\\\\ 0&0&0&k-l\\\\ -1&-1&3&l\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知当且仅当 $\displaystyle k=l$ 时, $\displaystyle (A-E)x=k\xi_1+l\xi_2$ 有界. 取 $\displaystyle k=l=1$ 后知可取
$$\begin{aligned} \eta_1=\xi_1+\xi_2=(2,1,1)^\mathrm{T}, \eta_2=(-1,0,0)^\mathrm{T}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再取 $\displaystyle \eta_3=\xi_1=(-1,1,0)^\mathrm{T}$, 并令
$$\begin{aligned} T=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-1&-1\\\\ 1&0&1\\\\ 1&0&0\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} &T^{-1}AT=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&\\\\ &1&\\\\ &&1\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow& A^k=T\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&k&\\\\ &1&\\\\ &&1\end{array}\right)T^{-1} =\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1-2k&-2k&6k\\\\ -k&1-k&3k\\\\ -k&-k&1+3k \end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1230、 (2)、 求 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1&\cdots&1\\\\ 1&2&\cdots&1\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ 1&1&\cdots&2\end{array}\right)$ 的逆. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (2-1)、 我们有如下求一类矩阵的逆的好方法: Sherman-Morrison 公式. 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶可逆阵, $\displaystyle \alpha,\beta$ 是 $\displaystyle n$ 维列向量, 且 $\displaystyle 1+\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha\neq 0$. 求证:
$$\begin{aligned} (A+\alpha\beta^\mathrm{T})^{-1}=A^{-1}-\frac{1}{1+\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha} A^{-1}\alpha \beta^\mathrm{T} A^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
最笨的办法是直接验算:
$$\begin{aligned} &(A+\alpha \beta^\mathrm{T})\left(A^{-1}-\frac{1}{1+\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha} A^{-1}\alpha \beta^\mathrm{T} A^{-1}\right)\\\\ =&E-\frac{\alpha\beta^\mathrm{T} A^{-1}}{1+\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha} +\alpha \beta^\mathrm{T} A^{-1} -\frac{\alpha (\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha)\beta^\mathrm{T} A^{-1}}{1+\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha}\\\\ =&E+\alpha\beta^\mathrm{T} A^{-1} -\frac{\alpha\beta^\mathrm{T} A^{-1}}{1+\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha} -\frac{(\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha) \alpha\beta^\mathrm{T} A^{-1}}{1+\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha}\\\\ =&E+\alpha\beta^\mathrm{T} A^{-1} -\alpha\beta^\mathrm{T} A^{-1} =E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
但你知道这公式是如何得到的么? 事实上, 由
$$\begin{aligned} (1-x)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty x^n, |x| < 1 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知我们可形式计算如下:
$$\begin{aligned} &\quad (A+\alpha \beta^\mathrm{T})^{-1}=\left[A(E+A^{-1}\alpha\beta^\mathrm{T})\right]^{-1} =\left(E+A^{-1}\alpha \beta^\mathrm{T}\right)^{-1}A^{-1}\\\\ &=\left[E+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k (A^{-1}\alpha \beta^\mathrm{T})^k\right] A^{-1}\\\\ &=\left[E+A^{-1}\alpha \cdot\sum_{k=1}^\infty (-1)^k (\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha)^{k-1}\cdot \beta\right] A^{-1}\\\\ &=\left[E-A^{-1}\alpha \frac{1}{1+\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha}\beta^\mathrm{T}\right]A^{-1} =A^{-1}-\frac{A^{-1}\alpha\beta^\mathrm{T} A^{-1}}{1+\beta^\mathrm{T} A^{-1}\alpha}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2-2)、 设 $\displaystyle e=(1,\cdots,1)^\mathrm{T}$, 则 $\displaystyle A=E+ee^\mathrm{T}$, 而由第 i 步知
$$\begin{aligned} A^{-1}=&E-\frac{1}{1+e^\mathrm{T} e}ee^\mathrm{T} =E-\frac{1}{n+1}ee^\mathrm{T}\\\\ =&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{n}{n+1}&-\frac{1}{n+1}&\cdots&-\frac{1}{n+1}\\\\ -\frac{1}{n+1}&\frac{n}{n+1}&\cdots&-\frac{1}{n+1}\\\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\\\ -\frac{1}{n+1}&-\frac{1}{n+1}&\cdots&\frac{n}{n+1}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1231、 2、 已知 $\displaystyle A,B$ 均为 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵, 证明: (1)、 $\displaystyle AB-BA$ 的特征值为 $\displaystyle 0$ 或纯虚数; (2)、 $\displaystyle \mathrm{tr}\left[(AB)^2\right]\leq \mathrm{tr}(A^2B^2)$, 其中 $\displaystyle \mathrm{tr} M$ 表示矩阵 $\displaystyle M$ 的迹. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 先证一个结论: 反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数. 事实上, 设 $\displaystyle \lambda$ 是反对称实矩阵 $\displaystyle A$ 的特征值, 则存在 $\displaystyle \alpha\neq 0$ 使
$$\begin{aligned} &A \alpha =\lambda\alpha \\\\ \Rightarrow& \lambda \overline{\alpha} ^\mathrm{T}\alpha =\overline{\alpha} ^\mathrm{T} A \alpha =-\overline{\alpha} ^\mathrm{T} A ^\mathrm{T}\alpha =-\left(A \overline{\alpha} \right)^\mathrm{T}\alpha =-\left(\overline{A \alpha }\right)^\mathrm{T}\alpha =-\overline{\lambda} \overline{\alpha}^\mathrm{T}\alpha \\\\ \Rightarrow& \lambda=-\overline{\lambda} \Rightarrow\lambda=0\mbox{或纯虚数}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 设 $\displaystyle C=AB-BA$, 则 $\displaystyle C^\mathrm{T}=B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}-A^\mathrm{T} B^\mathrm{T}=BA-AB=-C$. 由第 1 步即知 $\displaystyle C$ 的特征值要么为 $\displaystyle 0$ 要么为纯虚数. (3)、 由
$$\begin{aligned} C^\mathrm{T} C&=-C^2=-(AB-BA)(AB-BA)\\\\ &=-(AB)^2+AB^2A+BA^2B-(BA)^2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
及 $\displaystyle C^\mathrm{T} C$ 半正定知
$$\begin{aligned} 0\leq \mathrm{tr}(C^\mathrm{T} C)=&-\mathrm{tr}\left[(AB)^2\right]+\mathrm{tr}(AB^2\cdot A)\\\\ &+\mathrm{tr}(B\cdot A^2B)-\mathrm{tr}(B\cdot ABA). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由公式 $\displaystyle \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$ 知
$$\begin{aligned} &\mathrm{tr}(AB^2\cdot A)=\mathrm{tr}(A^2B^2), \mathrm{tr}(B\cdot A^2B)=\mathrm{tr}(A^2B^2),\\\\ &\mathrm{tr}(B\cdot ABA)=\mathrm{tr}(ABAB). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} 0\leq 2\left\{\mathrm{tr}(A^2B^2)-\mathrm{tr}\left[(AB)^2\right]\right\}\Rightarrow \mathrm{tr}\left[(AB)^2\right]\leq \mathrm{tr}(A^2B^2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1232、 4、 解答如下问题: (1)、 已知 $\displaystyle n$ 阶方阵 $\displaystyle A,B$ 满足 $\displaystyle A-B+AB=0$. 证明: $\displaystyle AB=BA$. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &-I=A-B+AB-I=(A-I)(B+I)\\\\ \Rightarrow& -I=(B+I)(A-I)=BA-B+A-I\\\\ \Rightarrow&BA=B-A\xlongequal{\tiny\mbox{题设}} AB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1233、 (2)、 是否存在 $\displaystyle 2$ 阶实矩阵 $\displaystyle A$, 使得 $\displaystyle A^2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1&0\\\\ 0&-2\end{array}\right)$. 若存在, 请举例; 若不存在, 请加以证明. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 不存在. 用反证法. 若存在满足题设的二阶实矩阵 $\displaystyle A$, 则 $\displaystyle A$ 的特征值 $\displaystyle \lambda$ 满足
$$\begin{aligned} \lambda^2=-1\mbox{或} -2\Rightarrow \lambda^2\in\mathbb{R}, \lambda^2 < 0\Rightarrow \lambda=b\mathrm{ i}, b\neq 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又 $\displaystyle A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ 的虚特征值成对出现蕴含 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \pm b\mathrm{ i}$. 由 Jordan 标准形理论知存在复可逆矩阵 $\displaystyle P$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=\mathrm{diag}(b\mathrm{ i},-b\mathrm{ i})\Rightarrow P^{-1}A^2P=\mathrm{diag}(-b^2,-b^2)=-b^2I_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这与题设矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1234、 5、 已知 $\displaystyle A=(a_{ij})$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵, $\displaystyle a_{ij}=\left\{\begin{array}{llllllllllll}1,&1\leq i < j\leq n,\\\\ 0,&\mbox{其它}.\end{array}\right.$ 证明: (1)、 $\displaystyle A^n=0$; (2)、 若 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle B$ 满足 $\displaystyle AB+BA=B$, 证明: $\displaystyle B=0$. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 $\displaystyle A$ 的特征值全为 $\displaystyle 0$, 且 $\displaystyle \mathrm{rank} A=n-1$. 而 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 满足 $\displaystyle \mathrm{rank} J=n-1$. 这表明
$$\begin{aligned} J=J_n(0)\Rightarrow J^n=0\Rightarrow A^n=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 为证第 2 问. 我们给出一个结果. 设 $\displaystyle A,B$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 若 $\displaystyle A,B$ 无公共特征值, 则矩阵方程 $\displaystyle AX=XB$ 只有零解. 设 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$, 则 $\displaystyle A$ 的特征多项式
$$\begin{aligned} f(\lambda)=\prod_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再设 $\displaystyle B$ 的特征值为 $\displaystyle \mu_1,\cdots,\mu_n$, 则 $\displaystyle f(B)$ 的特征值为 $\displaystyle f(\mu_1),\cdots,f(\mu_n)$. 由于 $\displaystyle \lambda_i\neq \mu_j\ (i\neq j)$, 我们知 $\displaystyle f(\mu_j)\neq 0\ (\forall\ j)$. 据此,
$$\begin{aligned} |f(B)|=\prod_{j=1}^n f(\mu_j)\neq 0\Rightarrow f(B)\mbox{可逆}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由
$$\begin{aligned} AX=XB\Rightarrow& A^2X=AAX=AXB=XBB=XB^2\Rightarrow \cdots\\\\ \Rightarrow& A^kX=XB^k\ (\forall\ k) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle f(A)X=Xf(B)$. 由 Hamilton-Caylay 定理, $\displaystyle 0=f(A)\Rightarrow 0=Xf(B)$. 因 $\displaystyle f(B)$ 可逆, 我们最终得到 $\displaystyle X=0$. (3)、 回到题目. 由题设, $\displaystyle (A-E)B=B(-A)$. 注意到 $\displaystyle A-E$ 的特征值全为 $\displaystyle -1$, $\displaystyle -A$ 的特征值全为 $\displaystyle 0$, 我们可由第 2 步知 $\displaystyle B=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1235、 6、 已知 $\displaystyle n$ 阶的三对角矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&-1&&\\\\ -2&\ddots&\ddots&\\\\ &\ddots&\ddots&-1\\\\ &&-2&3\end{array}\right)$. 证明 $\displaystyle A$ 可逆. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle |A|=D_n$, 则按第一行展开知 $\displaystyle D_n=3D_{n-1}-2D_{n-2}$. 特征方程为 $\displaystyle \lambda^2-3\lambda+2=0$. 故可设
$$\begin{aligned} D_n=c_1+c_2 2^n\stackrel{D_1=3, D_2=7}{\Rightarrow}c_1=-1, c_2=2 \Rightarrow D_n=2^{n+1}-1 > 0\Rightarrow A\mbox{可逆}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1236、 7、 已知 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A,B$ 满足
$$\begin{aligned} A^2=A, B^2=B, M=AB. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
证明:
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(I_n-M)\leq 2\left(n-\mathrm{rank} M\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle I_n$ 为 $\displaystyle n$ 阶单位矩阵. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\\\\ &A-I_n\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&A\\\\ &A-I_n\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&A\\\\ -A&-I_n\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-A^2&\\\\ -A&-I_n\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-A^2&\\\\ &I_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&\\\\ &I_n\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank} A+\mathrm{rank}(A-I_n)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
同理, $\displaystyle \mathrm{rank} B+\mathrm{rank}(B-I_n)=n$. (2)、
$$\begin{aligned} &\mathrm{rank}(I_n-M)=\mathrm{rank}(I_n-A+A-AB)\\\\ \leq& \mathrm{rank}(I_n-A)+\mathrm{rank}\left[A(I_n-B)\right] \leq \mathrm{rank}(I_n-A)+\mathrm{rank}(I_n-B)\\\\ =&n-\mathrm{rank} A+n-\mathrm{rank} B \leq n-\mathrm{rank} M+n-\mathrm{rank} M\\\\ =&2(n-\mathrm{rank} M). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1237、 10、 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 的元素均为 $\displaystyle 0$ 或 $\displaystyle 1$, 且 $\displaystyle A$ 的特征值均大于零. 证明: $\displaystyle \det A=1$. (西安交通大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle a_{ij}=1\mbox{或} 0$ 及行列式的定义知 $\displaystyle \det A\in\mathbb{Z}$. 设 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$, 则由题设, $\displaystyle \lambda_i > 0$,
$$\begin{aligned} \det A=\lambda_1\cdots\lambda_n\geq 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再者,
$$\begin{aligned} \det A=\lambda_1\cdots\lambda_n\stackrel{\tiny\mbox{均值}}{\leq}\left(\frac{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}{n}\right)^n =\left(\frac{\mathrm{tr} A}{n}\right)^n \stackrel{a_{ii}=0\mbox{或} 1}{\leq}\left(\frac{n}{n}\right)^n=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \det A=1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1238、 6、 已知 $\displaystyle A,B$ 为 $\displaystyle 3$ 阶方阵且满足 $\displaystyle 2A^{-1}B=B-4E$. (1)、 证明: $\displaystyle A-2E$ 可逆, 并求 $\displaystyle A-2E$ 的逆; (2)、 若 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-2&0\\\\ 1&2&0\\\\ 0&0&2\end{array}\right)$, 求 $\displaystyle A$. (西北大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} &2B=AB-4A\Rightarrow AB-4A-2B=0\\\\ \Rightarrow& (A-2E)(B-4E)=8E \Rightarrow (A-2E)^{-1}=\frac{B-4E}{8}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 由第 1 步知
$$\begin{aligned} A=2E+8(B-4E)^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&2&0\\\\ -1&-1&0\\\\ 0&0&-2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1239、 7、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle n$ 阶方阵, $\displaystyle A^\star$ 是 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵. 证明: 若 $\displaystyle A^2=E$, 则 (1)、 $\displaystyle \mathrm{rank}(A+E)+\mathrm{rank}(A-E)=n$; (2)、 $\displaystyle \mathrm{rank}(A^\star+E)+\mathrm{rank}(A^\star-E)=n$. (西北大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A+E&0\\\\ 0&A-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A+E&A-E\\\\ 0&A-E\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2E&A-E\\\\ E-A&A-E\end{array}\right)\\\\ \to&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2E&0\\\\ E-A&(A-E)+\frac{1}{2}(E-A)(E-A)\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ 0&A^2-E\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A+E)+\mathrm{rank}(A-E)=\mathrm{rank}(E_n)+\mathrm{rank}(A^2-E)=n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 $\displaystyle (A^\star)^2=A^\star A^\star=(AA)^\star=E^\star=E$. 在第 1 步的结果中 $\displaystyle A\to A^\star$ 即得结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1240、 2、 (20 分) 已知 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle 4$ 阶方阵, 且 $\displaystyle A^{-1}XA-A^\star=A^{-1}X$, 其中 $\displaystyle A^\star$ 为 $\displaystyle A$ 的伴随矩阵. 若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0&0\\\\ 0&1&2&0\\\\ 0&0&1&3\\\\ 4&0&0&1\end{array}\right)$, 求矩阵 $\displaystyle X$. (西南财经大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle |A|=-23$ 知 $\displaystyle A^\star=|A|A^{-1}=-23A^{-1}$, 而
$$\begin{aligned} &A^{-1}XA+23A^{-1}=A^{-1}X \stackrel{\mbox{左乘}A}{\Rightarrow}XA+23E=X\\\\ \Rightarrow&X(E-A)=23E\Rightarrow X=23(E-A)^{-1}=\frac{23}{12}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}&&&-3\\\\ -12&&&\\\\ &-6&&\\\\ &&-4&\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1241、 3、 矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&0&0\\\\ a&2&0\\\\ b&c&-1\end{array}\right)$. 证明: $\displaystyle A$ 可对角化当且仅当 $\displaystyle a=0$. (西南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 2,2,-1$. 于是 $\displaystyle A$ 可对角化 $\displaystyle \Leftrightarrow A\sim \mathrm{diag}(2,2,-1)$
$$\begin{aligned} \Leftrightarrow 1=\mathrm{rank}(A-2E)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&0\\\\ a&0&0\\\\ b&c&1\end{array}\right)\Leftrightarrow a=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1242、 4、 设 $\displaystyle A_i, i=1,\cdots,4$ 是三阶方阵. 证明: 存在不全为零的 $\displaystyle x_i, i=1,\cdots,4$, 使得
$$\begin{aligned} \det(x_1A_1+x_2A_2+x_3A_3+x_4A_4)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(西南大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A_i=(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i)$, 则 $\displaystyle 4$ 个三维向量组 $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 是线性相关的, 即存在不全为 $\displaystyle 0$ 的 $\displaystyle x_i$, 使得
$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n x_i\alpha_i=0\Rightarrow \sum_{i=1}^4 x_iA_i\mbox{第一列为零向量}\Rightarrow \det\left(\sum_{i=1}^4 x_iA_i\right)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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