张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第47天
1059、 (2)、 设 $\displaystyle A,B$ 为 $\displaystyle 3$ 阶复方阵, $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 相似的充要条件为 $\displaystyle A,B$ 有相同的特征多项式和最小多项式. $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ (安徽大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \times$. 比如 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&&\\\\ &0&&\\\\ &&0&1\\\\ &&&0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1&&\\\\ &0&&\\\\ &&0&\\\\ &&&0\end{array}\right)$ 的特征多项式都是 $\displaystyle \lambda^4$, 最小多项式都是 $\displaystyle \lambda^2$, 但 $\displaystyle A, B$ 不相似.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1060、 (3)、 已知复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&-1&0&0\\\\ 1&0&1&0\\\\ 0&0&0&-1\\\\ 0&0&1&0\end{array}\right)$, 求 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle \mathrm{ i},\mathrm{ i},-\mathrm{ i},-\mathrm{ i}$. 由
$$\begin{aligned} A-\mathrm{ i} E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-\mathrm{ i}&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right), A+\mathrm{ i} E\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&\mathrm{ i}&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(J\pm \mathrm{ i} E)=\mathrm{rank}(A\pm \mathrm{ i} E)=3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\mathrm{ i}&1&&\\\\ &\mathrm{ i}&&\\\\ &&-\mathrm{ i}&1\\\\ &&&-\mathrm{ i}\end{array}\right)$ [从秩可以确定出严格上三角部分有没有 $\displaystyle 1$, 因为如果 $\displaystyle \mathrm{ i}$ 所在的 Jordan 块没有 $\displaystyle 1$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank}(J-\mathrm{ i} E)=2$, 矛盾].跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1061、 (4)、 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle 3$ 阶实对称矩阵, 且特征值为 $\displaystyle 1,1,2$. 已知
$$\begin{aligned} \alpha_1=(1,-1,0)^\mathrm{T}, \alpha_2=(1,1,-2)^\mathrm{T} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
为同属于特征值 $\displaystyle 1$ 的特征向量, 求 $\displaystyle A$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交知 $\displaystyle A$ 的属于特征值 $\displaystyle 2$ 的特征向量 $\displaystyle \alpha_3$ 满足
$$\begin{aligned} &\alpha_i^\mathrm{T} \alpha_3=0, i=1,2\Leftrightarrow A\alpha_3=0,\\\\ &A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ 1&1&-2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&1&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故可取 $\displaystyle \alpha_3=(1,1,1)^\mathrm{T}$. 令 $\displaystyle P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&1\\\\ -1&1&1\\\\ 0&-2&1\end{array}\right)$, 则
$$\begin{aligned} AP=P\mathrm{diag}(1,1,2)\Rightarrow A=P\mathrm{diag}(1,1,2)P^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&1&1\\\\ 1&4&1\\\\ 1&1&4\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1062、 4、 证明题 (共 40 分). (1)、 (10 分) 设 $\displaystyle A,B$ 均为 $\displaystyle n$ 阶方阵, 且 $\displaystyle A+B=AB$, 证明: $\displaystyle \mathrm{rank} A=\mathrm{rank} B$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} B=AB-A=A(B-E)\Rightarrow \mathrm{rank} B\leq \mathrm{rank} A,\\\\ A=AB-B=(A-E)B\Rightarrow \mathrm{rank} A\leq \mathrm{rank} B . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1063、 (2)、 (10 分) 设 $\displaystyle A,B$ 均为 $\displaystyle n$ 阶方阵, $\displaystyle AB=BA$, 且 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle n$ 个不同的特征值. 证明: (2-1)、 $\displaystyle B$ 可对角化; (2-2)、 存在 $\displaystyle f(x), \deg f(x)\leq n-1$, 满足 $\displaystyle B=f(A)$. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 为 $\displaystyle A$ 的互不相同的特征值, 其对应的特征向量为 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_n$, 则由
$$\begin{aligned} AB\alpha_i=BA\alpha_i=\lambda_iB\alpha_i\quad (1\leq i\leq n) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 ($\dim \left\{\alpha; A\alpha=\lambda_i\alpha\right\}=1$)
$$\begin{aligned} B\alpha_i=\mu_i\alpha_i\quad (\mu_i\in\mathbb{R}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是令 $\displaystyle P=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 后,
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n),\quad P^{-1}BP=\mathrm{diag}(\mu_1,\cdots,\mu_n). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle B$ 可对角化. 取多项式 $\displaystyle f(x)$, 使得
$$\begin{aligned} f(\lambda_i)=\mu_i\quad \left(1\leq i\leq n\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
后则
$$\begin{aligned} P^{-1}f(A)P=\mathrm{diag}(f(\lambda_1),\cdots,f(\lambda_n))=P^{-1}BP\Rightarrow f(A)=B. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这里, $\displaystyle f$ 可为 Lagrange 插值多项式:
$$\begin{aligned} f(x)=\sum_{i=1}^n \mu_i\frac{(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_{i-1})(x-\lambda_{i+1})\cdots (x-\lambda_n)}{(\lambda_i-\lambda_1)\cdots(\lambda_i-\lambda_{i-1})(\lambda_i-\lambda_{i+1})\cdots (\lambda_i-\lambda_n)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1064、 (4)、 (10 分) 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶正交矩阵, $\displaystyle \alpha+\mathrm{ i}\beta$ 为 $\displaystyle A$ 属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量, 其中 $\displaystyle \lambda\neq \pm 1, \alpha,\beta$ 为实向量, $\displaystyle \mathrm{ i}$ 为纯虚数. 证明: $\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 的模相等, 且相互正交. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \lambda\neq\pm 1$ 知 $\displaystyle \lambda=a+b\mathrm{ i}, b\neq 0$. 由 $\displaystyle A$ 正交知
$$\begin{aligned} 1=|\lambda|^2=a^2+b^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
又由题设,
$$\begin{aligned} &A(\alpha+\beta\mathrm{ i})=(a+b\mathrm{ i})(\alpha+\beta\mathrm{ i})\\\\ \Rightarrow& A\alpha=a\alpha-b\beta, A\beta=b\alpha+a\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 (4-1)、 由
$$\begin{aligned} \alpha^\mathrm{T}\alpha=&\alpha^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A\alpha=(A\alpha)^\mathrm{T} (A\alpha)\\\\ =&(a\alpha^\mathrm{T}-b\beta^\mathrm{T})(a\alpha-b\beta)\\\\ =&a^2\alpha^\mathrm{T} \alpha-2ab\alpha^\mathrm{T} \beta+b^2\beta^\mathrm{T} \beta \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &b^2(\alpha^\mathrm{T} \alpha-\beta^\mathrm{T}\beta)=-2ab\alpha^\mathrm{T} \beta\\\\ \Rightarrow&b(\alpha^\mathrm{T} \alpha-\beta^\mathrm{T} \beta)=-2a\alpha^\mathrm{T} \beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(4-2)、 同理, 由
$$\begin{aligned} \alpha^\mathrm{T}\beta=&\alpha^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A\beta=(A\alpha)^\mathrm{T} (A\beta)\\\\ =&(a\alpha^\mathrm{T}-b\beta^\mathrm{T})(b\alpha+a\beta)\\\\ =&ab\alpha^\mathrm{T} \alpha+a^2\alpha^\mathrm{T} \beta-b^2\alpha^\mathrm{T} \beta-ab\beta^\mathrm{T} \beta \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知
$$\begin{aligned} &2b^2\alpha^\mathrm{T}\beta=ab(\alpha^\mathrm{T} \alpha-\beta^\mathrm{T} \beta)\\\\ \Rightarrow&2b\alpha^\mathrm{T} \beta=a(\alpha^\mathrm{T} \alpha-\beta^\mathrm{T} \beta). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
联合第 (i), (ii) 步即知
$$\begin{aligned} b(\alpha^\mathrm{T} \alpha-\beta^\mathrm{T} \beta)&=-\frac{a}{b}\cdot 2\alpha^\mathrm{T}\beta =-\frac{a}{b}\cdot a(\alpha^\mathrm{T} \alpha-\beta^\mathrm{T}\beta). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} 0=(a^2+b^2)(\alpha^\mathrm{T} \alpha-\beta^\mathrm{T} \beta)=\alpha^\mathrm{T}\alpha-\beta^\mathrm{T}\beta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
即 $\displaystyle \alpha,\beta$ 有相同的模长. 代入第 (ii) 步即知 $\displaystyle \alpha^\mathrm{T} \beta=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1065、 3、 (20 分) 已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}a&c&-1\\\\ 1-c&-a&0\\\\ 5&3&b\end{array}\right)$ 有一特征向量 $\displaystyle \alpha=(-1,1,-1)^\mathrm{T}$. (1)、 若 $\displaystyle |A|=0$, 求 $\displaystyle a,b,c$ 及 $\displaystyle A$ 的所有特征值. 问 $\displaystyle A$ 是否可以对角化? 为什么? (2)、 若 $\displaystyle |A|=-1$, 求 $\displaystyle a,b,c$ 及 $\displaystyle A$ 的所有特征值, 问 $\displaystyle A$ 是否可以对角化? 此时求 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 及可逆矩阵 $\displaystyle P$, 使得 $\displaystyle P^{-1}AP=J$. (北京工业大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由题设,
$$\begin{aligned} &A\alpha=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1-a+c\\\\ -1-a+c\\\\ -2-b\end{array}\right)\parallel\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\1\\\\-1\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&\exists\ t,\mathrm{ s.t.} 1-a+c=-t, -1-a+c=t, -2-b=t\\\\ \Rightarrow&-t-1=c-a=t+1, b=t-2\Rightarrow t=-1, b=-3, c=a\qquad(I)\\\\ \Rightarrow& 0=|A|=a-3\Rightarrow c=a=3. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&3&-1\\\\ -2&-3&0\\\\ 5&3&-3\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 0,-1,-2$, 它们是互异的, 而对应的特征向量是线性无关的. 从而 $\displaystyle A$ 有 $\displaystyle 3$ 个线性无关的特征向量, 是可对角化的. (2)、 由 $\displaystyle (I)$ 知 $\displaystyle -1=|A|=a-3\Rightarrow c=a=2$. 故 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&2&-1\\\\ -1&-2&0\\\\ 5&3&-3\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle -1,-1,-1$. 由
$$\begin{aligned} A+E\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right)\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \mathrm{rank}(A+E)=2\Rightarrow \mathrm{rank}(J+E)=2$. 故 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ 0&-1&1\\\\ 0&0&-1\end{array}\right)$. 设可逆矩阵 $\displaystyle P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 使得
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=J\Leftrightarrow (A+E)\alpha_1=0, (A+E)\alpha_2=\alpha_1, (A+E)\alpha_3=\alpha_2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle (I)$ 知可选 $\displaystyle \alpha_1=(1,-1,1)^\mathrm{T}$. 又由
$$\begin{aligned} (A+E,\alpha_1)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1&-1\\\\ 0&1&1&2\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知可选 $\displaystyle \alpha_2=(-1,2,0)^\mathrm{T}$. 再由
$$\begin{aligned} (A+E,\alpha_2)\to \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&-1&3\\\\ 0&1&1&-5\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知可选 $\displaystyle \alpha_3=(3,-5,0)^\mathrm{T}$. 故
$$\begin{aligned} P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&3\\\\ -1&2&-5\\\\ 1&0&0\end{array}\right)\Rightarrow P^{-1}AP=J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0\\\\ 0&-1&1\\\\ 0&0&-1\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1066、 6、 (20 分) 考虑实对称矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&1\end{array}\right)$, 其中 $\displaystyle \alpha=(a_1,\cdots,a_n)^\mathrm{T}$. (1)、 若 $\displaystyle A$ 可逆, 证明:
$$\begin{aligned} |B|=|A|(1-\alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha) =|A-\alpha\alpha^\mathrm{T}|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、 证明: 矩阵 $\displaystyle A-\alpha\alpha^\mathrm{T}$ 正定当且仅当 $\displaystyle A$ 正定, 且 $\displaystyle \alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha < 1$. (北京工业大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -\alpha^\mathrm{T} A^{-1}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A^{-1}\alpha\\\\ 0&1\end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&0\\\\ 0&1-\alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha\end{array}\right),\\\\ \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-\alpha\\\\ 0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -\alpha^\mathrm{T}&1\end{array}\right)=&\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-\alpha\alpha^\mathrm{T}&0\\\\ 0&1\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle |B|=|A|(1-\alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha) =|A-\alpha\alpha^\mathrm{T}|$. (2)、 矩阵 $\displaystyle A-\alpha\alpha^\mathrm{T}$ 正定等价于 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A-\alpha\alpha^\mathrm{T}&0\\\\ 0&1\end{array}\right)$ 正定, 由第 1 步的结果知这等价于 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&0\\\\ 0&1-\alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha\end{array}\right)$ 正定, 最终等价于 $\displaystyle A$ 正定, 且 $\displaystyle \alpha^\mathrm{T} A^{-1}\alpha < 1$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1067、 8、 (15 分) 设 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle n$ 阶复方阵, $\displaystyle B$ 为 $\displaystyle m$ 阶复方阵, 且存在秩为 $\displaystyle r$ 的矩阵 $\displaystyle X$ 满足 $\displaystyle AX=XB$, 其中 $\displaystyle 1\leq r\leq \min\left\{n,m\right\}$. 证明: $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 至少有 $\displaystyle r$ 个公共的特征值 (重根按重数计算). (北京科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \mathrm{rank} X=r$ 知存在可逆矩阵 $\displaystyle P,Q$ 使得 $\displaystyle PXQ=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)$. 设
$$\begin{aligned} PAP^{-1}=C=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}C_{11}&C_{12}\\\\ C_{21}&C_{22}\end{array}\right), Q^{-1}BQ=D=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}D_{11}&D_{12}\\\\ D_{21}&D_{22}\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} &AX=XB\Leftrightarrow PAP^{-1}\cdot PXQ=PXQ\cdot Q^{-1}BQ\\\\ \Leftrightarrow& C\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E_r&\\\\ &0\end{array}\right)D \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}C_{11}&0\\\\ C_{21}&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}D_{11}&D_{12}\\\\ 0&0\end{array}\right)\\\\ \Leftrightarrow& C_{11}=D_{11}, D_{12}=0, C_{21}=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} &PAP^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}C_{11}&C_{12}\\\\ 0&C_{22}\end{array}\right), Q^{-1}BQ=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}C_{11}&0\\\\ D_{21}&D_{22}\end{array}\right)\\\\ \Rightarrow&|\lambda E-A|=|\lambda E_r-C_{11}|\cdot |\lambda E_{n-r}-C_{22}|\\\\ &|\lambda E-B|=|\lambda E_r-C_{11}|\cdot |\lambda E_m-D_{22}|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle C_{11}$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_1,\cdots,\lambda_r$, 则它们就是 $\displaystyle A,B$ 的公共特征值.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1068、 9、 (15 分) 已知 $\displaystyle \alpha=(a_1,\cdots,a_n)^\mathrm{T}, \beta=(b_1,\cdots,b_n)^\mathrm{T}$ 为两个非零实向量 $\displaystyle (n > 1)$, $\displaystyle A=\alpha\beta^\mathrm{T}$. (1)、 求 $\displaystyle A$ 的最小多项式; (2)、 求 $\displaystyle A$ 的若尔当标准形. (北京科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} A\alpha=\alpha\beta^\mathrm{T}\alpha=\alpha(\beta^\mathrm{T} \alpha)=(\beta^\mathrm{T} \alpha)\alpha. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由常用公式知
$$\begin{aligned} &\lambda|\lambda E_n-\alpha\beta^\mathrm{T}|=\lambda^n(\lambda-\beta^\mathrm{T} \alpha)\\\\ \Rightarrow&|\lambda E_n-A|=\lambda^{n-1} (\lambda-\beta^\mathrm{T} \alpha). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 若 $\displaystyle \beta^\mathrm{T} \alpha\neq 0$, 则 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 0$ ($n-1$ 重), $\displaystyle \beta^\mathrm{T} \alpha$ (单重). 由 $\displaystyle \alpha\neq 0, \beta\neq 0$ 知 $\displaystyle \mathrm{rank} A=1$. 故 $\displaystyle Ax=0$ 有 $\displaystyle n-1$ 个线性无关的解向量 $\displaystyle \eta_1,\cdots,\eta_{n-1}$. 令 $\displaystyle \eta_n=\alpha$, 则 $\displaystyle P=(\eta_1,\cdots,\eta_n)$ 可逆, 且
$$\begin{aligned} P^{-1}AP=\mathrm{diag}(0_{n-1},\beta^\mathrm{T}\alpha). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle A$ 可对角化, $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle \lambda(\lambda-\beta^\mathrm{T} \alpha)$, Jordan 标准形为 $\displaystyle \mathrm{diag}(0_{n-1},\beta^\mathrm{T}\alpha)$. (2)、 若 $\displaystyle \beta^\mathrm{T} \alpha=0$, 则 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle 0$ ($n$ 重). 由 $\displaystyle \mathrm{rank} A=1$ 知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形也满足 $\displaystyle \mathrm{rank} J=1$. 故
$$\begin{aligned} J=\mathrm{diag}\left(\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\\\ &0\end{array}\right),0_{n-2}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle A$ 不可对角化, $\displaystyle A$ 的最小多项式为 $\displaystyle \lambda^2$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1069、 (4)、 若 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle s\times n$ 矩阵, 秩为 $\displaystyle n$; $\displaystyle B$ 为 $\displaystyle l\times m$ 矩阵, 秩为 $\displaystyle m$, 则 $\displaystyle \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&C\\\\ 0&B\end{array}\right)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} &\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&C\\\\ 0&B\end{array}\right)\left\{\begin{array}{llllllllllll}\geq \mathrm{rank} A+\mathrm{rank} B=n+m\\\\ \leq\mbox{它的列数} n+m\end{array}\right.\\\\ \Rightarrow& \mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A&C\\\\ 0&B\end{array}\right)=n+m. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1070、 (6)、 矩阵方程 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&4\\\\ 6&8\end{array}\right)X^\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&9\\\\ 4&18\end{array}\right)$ 的解为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&4\\\\ 6&8\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&9\\\\ 4&18\end{array}\right)=(\beta_1,\beta_2)$, 则由
$$\begin{aligned} (A,B)\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&4&2&9\\\\ 0&0&0&0\end{array}\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle Ax=\beta_1, Ax=\beta_2$ 的通解分别为
$$\begin{aligned} k\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-4\\\\3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\frac{2}{3}\\\\0\end{array}\right),\quad \forall\ k; l\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-4\\\\3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3\\\\0\end{array}\right),\quad \forall\ l. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} X^\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-4k+\frac{2}{3}&-4l+3\\\\ 3k&3l\end{array}\right)\Rightarrow X=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-4k+\frac{2}{3}&3k\\\\ -4l+3&3l\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1071、 (7)、 若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\end{array}\right)$, 且 $\displaystyle B=P^{-1}AP$, 其中 $\displaystyle P$ 为可逆矩阵, 则 $\displaystyle B^3-A^3=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 易知 $\displaystyle A^3=E$, 而 $\displaystyle B^3=P^{-1}A^3P=E$. 于是 $\displaystyle B^3-A^3=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1072、 (8)、 若 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle 5$ 阶方阵, 且 $\displaystyle A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=(\lambda-5)^3(\lambda-8)^2$, 最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)=(\lambda-5)^2(\lambda-8)^2$, 则 $\displaystyle A$ 的 Jordan 阵为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, 特征值为 $\displaystyle 5$ 的特征子空间的维数为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$, $\displaystyle \mathrm{rank}(8I-A)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (北京理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle m(\lambda)$ 的形式知 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形 $\displaystyle J$ 含有 $\displaystyle J_2(5), J_2(8)$. 再由 $\displaystyle f(\lambda)$ 的形式知 $\displaystyle J$ 还含有 $\displaystyle J_1(5)$. 故 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}5&&&&\\\\ &5&1&&\\\\ &&5&&\\\\ &&&8&1\\\\ &&&&8\end{array}\right)$. 进而存在可逆矩阵 $\displaystyle P=(\alpha_1,\cdots,\alpha_5)$ 使得 $\displaystyle P^{-1}AP=J$. 从而特征值为 $\displaystyle 5$ 的特征子空间 $\displaystyle L(\alpha_1,\alpha_2)$ 的维数为 $\displaystyle 2$,
$$\begin{aligned} \mathrm{rank}(8I-A)=&\mathrm{rank}(8I-J)=\mathrm{rank}(J-8I)\\\\ =&\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-3&&&&\\\\ &-3&1&&\\\\ &&-3&&\\\\ &&&0&1\\\\ &&&&0\end{array}\right)=4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1073、 5、 (1)、 设 $\displaystyle A$ 是正定矩阵, 证明: 存在对角元素全大于 $\displaystyle 0$ 的上三角矩阵 $\displaystyle C$, 使得 $\displaystyle A=C^\mathrm{T} C$. (2)、 证明 (1) 中的 $\displaystyle C$ 是唯一的. (北京师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 对 $\displaystyle n$ 作数学归纳法. 当 $\displaystyle n=1$ 时, 结论自明. 假设结论对 $\displaystyle n-1$ 阶正定矩阵成立, 则对 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&a\end{array}\right)$, 由
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ -\alpha^\mathrm{T} A_1^{-1}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1&\alpha\\\\ \alpha^\mathrm{T}&a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&-A_1^{-1}\alpha\\\\ 0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1&0\\\\ 0&a-\alpha^\mathrm{T} A_1^{-1}\alpha\end{array}\right)\ (I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle b=a-\alpha^\mathrm{T} A_1^{-1}\alpha > 0$. 由归纳假设, 存在对角元素全大于 $\displaystyle 0$ 的上三角矩阵 $\displaystyle C_1$, 使得 $\displaystyle A_1=C_1^\mathrm{T} C_1$. 设
$$\begin{aligned} C_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}C_1&\\\\ &\sqrt{\frac{a}{b}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&A_1^{-1}\alpha\\\\ 0&1\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle C$ 是对角元素全大于 $\displaystyle 0$ 的上三角矩阵, 且 $\displaystyle (I)$ 蕴含
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&0\\\\ \alpha^\mathrm{T} A_1^{-1}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}A_1&\\\\ &b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}E&A_1^{-1}\alpha\\\\ 0&1\end{array}\right)=C^\mathrm{T} C . \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
归纳步证毕. (2)、 设 $\displaystyle B$ 也是对角元全大于 $\displaystyle 0$ 的上三角阵, 满足 $\displaystyle A=B^\mathrm{T} B$, 则 $\displaystyle B^\mathrm{T} B=C^\mathrm{T} C$. 比较第一行知
$$\begin{aligned} b_{11}\left(b_{11},\cdots,b_{1n}\right)=c_{11}\left(c_{11},\cdots,c_{1n}\right).\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle b_{11} > 0, c_{11} > 0$ 及 $\displaystyle (I)$ 的第一个分量知 $\displaystyle b_{11}=c_{11}$. 再由 $\displaystyle (I)$ 的其余分量知 $\displaystyle b_{1i}=c_{1i}, 2\leq i\leq n$. 再比较第 $\displaystyle 2$ 行知
$$\begin{aligned} &\left(b_{12}b_{11},b_{12}^2,\cdots,b_{12}b_{1n}\right) +b_{22}\left(0,b_{22},\cdots,b_{2n}\right)\\\\ =&\left(c_{12}c_{11},c_{12}^2,\cdots,c_{12}c_{1n}\right) +c_{22}\left(0,c_{22},\cdots,c_{2n}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} b_{22}\left(0,b_{22},\cdots,b_{2n}\right) =c_{22}\left(0,c_{22},\cdots,c_{2n}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
联合 $\displaystyle b_{22} > 0, c_{22} > 0$ 即知 $\displaystyle b_{22}=c_{22}$, 进而 $\displaystyle b_{2i}=c_{2i}, 3\leq i\leq n$. 如此这般一行行做下去即知 $\displaystyle B=C$. 唯一性得证.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1074、 6、 设 $\displaystyle A$ 是 $\displaystyle m$ 阶矩阵, $\displaystyle B$ 是 $\displaystyle n$ 阶矩阵, 若 $\displaystyle A,B$ 无公共特征值, 证明: $\displaystyle AX=XB$ 仅有零解. (北京师范大学2023年高等代数与解析几何考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle f,g$ 分别是 $\displaystyle A,B$ 的特征值, 则由 $\displaystyle A,B$ 无公共特征值知 $\displaystyle f,g$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上没有公共复根, 而
$$\begin{aligned} &\left(f,g\right)=\left(f,g\right)_\mathbb{C}=1 \Rightarrow\exists\ u,v,\mathrm{ s.t.} uf+vg=1\\\\ \Rightarrow&E=u(B)f(B)+v(B)g(B)=u(B)f(B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle f(B)$ 可逆. 据题设,
$$\begin{aligned} AX=XB\Rightarrow A^2X=A\cdot XB=XB^2\Rightarrow \cdots\Rightarrow 0=f(A)X=Xf(B). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
由 $\displaystyle f(B)$ 可逆即知 $\displaystyle X=0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1075、 2、 用初等变换化矩阵 $\displaystyle A$ 为等价标准形, 其中
$$\begin{aligned} A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&-1&0&1&2\\\\ 2&0&1&1&0\\\\ 3&1&0&0&4\\\\ 2&2&0&-1&2\end{array}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 取
$$\begin{aligned} P_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0\\\\ -2&1&0&0\\\\ -3&0&1&0\\\\ -2&0&0&1\end{array}\right), Q_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1&0&-1&-2\\\\ 0&1&0&0&0\\\\ 0&0&1&0&0\\\\ 0&0&0&1&0\\\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A_1=P_1AQ_1=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0&0\\\\ 0&2&1&-1&-4\\\\ 0&4&0&-3&-2\\\\ 0&4&0&-3&-2\end{array}\right)$. 取
$$\begin{aligned} P_2=E_4, Q_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0&0\\\\ 0&0&1&0&0\\\\ 0&1&0&0&0\\\\ 0&0&0&1&0\\\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A_2=P_2A_1Q_2=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0&0\\\\ 0&1&2&-1&-4\\\\ 0&0&4&-3&-2\\\\ 0&0&4&-3&-2\end{array}\right)$. 取
$$\begin{aligned} P_3=E_4, Q_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0&0\\\\ 0&1&-2&1&4\\\\ 0&0&1&0&0\\\\ 0&0&0&1&0\\\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A_3=P_3A_2Q_3=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0&0\\\\ 0&1&0&0&0\\\\ 0&0&4&-3&-2\\\\ 0&0&4&-3&-2\end{array}\right)$. 取
$$\begin{aligned} P_4=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&-1&1\end{array}\right), Q_4=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&0&0&0\\\\ 0&1&0&0&0\\\\ 0&0&1&\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\\\ 0&0&0&1&0\\\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle A_4=P_4A_3Q_3=\mathrm{diag}(1,1,4,0,0)$. 取
$$\begin{aligned} P_5=E_4, Q_5=\mathrm{diag}\left(1,1,\frac{1}{4},1,1\right)\Rightarrow P_5A_4Q_5=\mathrm{diag}(1,1,1,0,0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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1076、 3、 设 $\displaystyle n$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 满足方程 $\displaystyle A^2+3A+2E=0$, 其中 $\displaystyle E$ 为单位矩阵, $\displaystyle O$ 为零矩阵. 证明: (1)、 $\displaystyle A-E$ 是可逆矩阵, 并求 $\displaystyle (A-E)^{-1}$; (2)、 $\displaystyle A+E$ 与 $\displaystyle A+2E$ 不同时可逆. (北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 设 $\displaystyle f(x)=x^2+3x+2, g(x)=x-1$, 则 $\displaystyle f(x)=(x+4)g(x)+6$, 而
$$\begin{aligned} 0=f(A)=(A+4E)(A-E)+6E\Rightarrow (A-E)\frac{A+4E}{-6}=E. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle A-E$ 可逆, 且 $\displaystyle (A-E)^{-1}=-\frac{A+4E}{6}$. (2)、 由题设, $\displaystyle (A+E)(A+2E)=0$, 而 $\displaystyle |A+E|=0$ 或 $\displaystyle |A+2E|=0$. 于是 $\displaystyle A+E$ 与 $\displaystyle A+2E$ 不同时可逆.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1077、 6、 已知 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\-1\end{array}\right)$ 是矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-1&2\\\\ 5&a&3\\\\ -1&b&-2\end{array}\right)$ 的特征向量. (1)、 求 $\displaystyle a,b$ 的值; (2)、 求矩阵 $\displaystyle A$ 的特征值; (3)、 讨论 $\displaystyle A$ 能否与对角矩阵相似. (北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由题设, $\displaystyle \exists\ \lambda,\mathrm{ s.t.} A\alpha=\lambda\alpha$, 即
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}-1\\\\ a+2\\\\ b+1\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\\\1\\\\-1\end{array}\right)\Rightarrow a=-3, b=0, \lambda=-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
从而 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&-1&2\\\\ 5&-3&3\\\\ -1&0&-2\end{array}\right)$. 易知 $\displaystyle A$ 的特征值为 $\displaystyle -1,-1,-1$. 由
$$\begin{aligned} -E-A\to\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0&1\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rank}(-E-A)=2\qquad(I) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle A$ 不可对角化. 这可用反证法证得. 若 $\displaystyle A$ 可对角化, 则
$$\begin{aligned} A\sim \mathrm{diag}(-1,-1,-1)\Rightarrow A=-E\Rightarrow \mathrm{rank}(-E-A)=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
与 $\displaystyle (I)$ 矛盾, 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1078、 7、 设 $\displaystyle A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$ 是 $\displaystyle n\times r$ 矩阵, $\displaystyle B=(\beta_1,\cdots,\beta_s)$ 是 $\displaystyle n\times s$ 矩阵, 矩阵 $\displaystyle A$ 的秩为 $\displaystyle r$, 矩阵 $\displaystyle B$ 的秩为 $\displaystyle s$. 证明: 如果 $\displaystyle r+s > n$, 则存在非零向量 $\displaystyle \xi$, 使得 $\displaystyle \xi$ 既可以由 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 线性表出, 又可以由 $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_s$ 线性表出. (北京邮电大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} \mathrm{im} A=&L(Ae_1,\cdots, Ae_s)=L(\alpha_1,\cdots, \alpha_r),\\\\ \mathrm{im} B=&L(Be_1,\cdots, Be_s)=L(\beta_1,\cdots, \beta_s), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle \dim\mathrm{im} A=\mathrm{rank} A=r, \dim \mathrm{im} B=\mathrm{rank} B=s$. 于是
$$\begin{aligned} \dim(\mathrm{im} A\cap \mathrm{im} B)=&\dim \mathrm{im} A+\dim \mathrm{im} B-\dim(\mathrm{im} A+\mathrm{im} B)\\\\ \geq& r+s-n > 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle \exists\ 0\neq \xi\in \mathrm{im} A\cap \mathrm{im} B$. 此 $\displaystyle \xi$ 既可以由 $\displaystyle \alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 线性表出, 又可以由 $\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_s$ 线性表出.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1079、 (3)、 设 $\displaystyle A$ 是一个 $\displaystyle n$ 阶实对称矩阵, $\displaystyle \lambda_n$ 是 $\displaystyle A$ 最大的特征值. 证明:
$$\begin{aligned} \lambda_n=\max_{0\neq X\in\mathbb{R}^n}\frac{X^\mathrm{T} AX}{X^\mathrm{T} X}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle \mathbb{R}^n$ 为实 $\displaystyle n$ 维列向量的集合. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle A$ 实对称知存在正交矩阵 $\displaystyle P=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$, 使得
$$\begin{aligned} P^\mathrm{T} AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \quad \lambda_i\in\mathbb{R}, \lambda_1\leq \cdots\leq \lambda_n. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle \forall\ 0\neq X\in\mathbb{R}^n$, 设 $\displaystyle X=PY$ 后,
$$\begin{aligned} X^\mathrm{T} AX=&Y^\mathrm{T} \mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)Y =\sum_i \lambda_iy_i^2\leq \lambda_n\sum_i y_i^2\\\\ =&\lambda_nY^\mathrm{T} Y=\lambda_nX^\mathrm{T} X. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
再由
$$\begin{aligned} A\alpha_n=\lambda_n\alpha_n\Rightarrow \alpha_n^\mathrm{T} A\alpha_n=\lambda_n\alpha_n^\mathrm{T} \alpha_n \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知 $\displaystyle \lambda_n=\max_{0\neq X\in\mathbb{R}^n}\frac{X^\mathrm{T} AX}{X^\mathrm{T} X}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1080、 (8)、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&12&2022\\\\ 0&0&25\\\\ 0&0&0\end{array}\right)$, 证明: 矩阵方程 $\displaystyle X^2=A$ 无解, 其中 $\displaystyle X\in \mathbb{C}^{3\times 3}$. (大连理工大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 用反证法. 若存在 $\displaystyle X$ 使得 $\displaystyle X^2=A$, 则 $\displaystyle X$ 的特征值 $\displaystyle \lambda$ 满足 $\displaystyle \lambda^2=0\Rightarrow \lambda=0$. 故 $\displaystyle X$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle J_3(0)$ 或 $\displaystyle \mathrm{diag}\left(J_2(0),0\right)$ 或 $\displaystyle 0$. 从而
$$\begin{aligned} A=X^2\sim \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0&1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0\end{array}\right)\mbox{或} 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这与 $\displaystyle \mathrm{rank} A=2$ 矛盾. 故有结论.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
1081、 (2)、 设 $\displaystyle 2023$ 阶矩阵 $\displaystyle A$ 满足 $\displaystyle A^8=0$, 则秩 $\displaystyle \mathrm{rank} A$ 的最大值为 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (电子科技大学2023年高等代数考研试题) [矩阵 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle A$ 的 Jordan 标准形为 $\displaystyle J$, 则 $\displaystyle J$ 中 Jordan 块的阶数小于等于 $\displaystyle 8$. 为了让 $\displaystyle \mathrm{rank} A$ 最大, 我们应让更多的 $\displaystyle 1$ 布满 $\displaystyle J$ 的上三角部分. 由 $\displaystyle 2023=252\times 8+7$, $\displaystyle \mathrm{rank} J_8(0)=7$ 知
$$\begin{aligned} \max\mathrm{rank} A=252\times 7+6=1770. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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