张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第35天

zhangzujin

手机查看请在浏览器中打开, 到了支付页面请截图, 并用支付宝或微信扫描之, 稍等后获得金钱, 即可购买. 偶偶因为网络问题充值不成功, 请与微信 pdezhang 联系, 发送论坛昵称与付款时间即可处理, 稍安勿躁. 购买后刷新网页才能正常显示数学公式.

张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第35天

---

783、 (2)、 求

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma (x-y+z)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(y-z+x)\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+(z-x+y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma$ 为闭曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$, 方向取外侧. (上海财经大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varSigma$ 所围区域为 $\displaystyle \varOmega$, 则

$$\begin{aligned} I\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iiint_\varOmega (1+1+1)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

令

$$\begin{aligned} \left.\begin{array}{rrrr}x-y+z=u\\\\ y-z+x=v\\\\ z-x+y=w\end{array}\right\}\Rightarrow \frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}=\left|\begin{array}{cccccccccc}1&-1&1\\\\ 1&1&-1\\\\ -1&1&1\end{array}\right|=4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} I&=3\iiint_{|u|+|v|+|w|\leq 1} \frac{1}{4}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \frac{3}{4}\cdot 8\iiint_{u,v,w\geq 0\atop u+v+w\leq 1} \mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ &=6 \int_0^1 \mathrm{ d} w\iint_{u\geq 0, v\geq 0\atop u+v\leq 1-w}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v =6\int_0^1 \frac{1}{2}(1-w)^2\mathrm{ d} w=1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

784、 14、 解答如下问题: (1)、 计算 $\displaystyle \int_L(x^2+y^2)\mathrm{ d} s$, 其中 $\displaystyle L$ 是球面 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线; (上海大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \frac{2}{3}\int_L (x^2+y^2+z^2)\mathrm{ d} s=\frac{2}{3}\int_L \mathrm{ d} s =\frac{2}{3}\cdot 2\pi =\frac{4\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

785、 (2)、 求曲面积分

$$\begin{aligned} I=\iint_\varSigma 2x^3\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+2y^3\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+2z^3\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma$ 是曲面 $\displaystyle z=1-x^2-y^2\ (z\geq 0)$ 的上侧. (上海大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle S: x^2+y^2\leq 1, z=0$, 方向指向负 $\displaystyle z$ 轴, 则 $\displaystyle \iint_S\cdots=0$. 据 Gauss 公式,

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\mbox{原式}+\iint_S \cdots\\\\ &=\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq 1\atop z\geq 0} (6x^2+6y^2+6z^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ &=6\int_0^1 r^2\cdot\frac{4\pi r^2}{2}\mathrm{ d} r=\frac{12\pi}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

786、 8、 $\displaystyle Q(x,y)$ 在全平面上偏导数存在且连续,

$$\begin{aligned} \int_L (3x^2y+8xy^2)\mathrm{ d} x+Q(x,y)\mathrm{ d} y, \int_L Q(x,y)\mathrm{ d} x+\frac{8}{3}x^3+12x(y+1)\mathrm{e}^y\mathrm{ d} y \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

与路径无关. (1)、 求 $\displaystyle Q(x,y)$, 使得 $\displaystyle Q(0,0)=0$. (2)、 就 (1) 的 $\displaystyle Q(x,y)$, 求 $\displaystyle \int_L (3x^2y+8xy^2)\mathrm{ d} x+Q(x,y)\mathrm{ d} y$. (首都师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 由题设,

$$\begin{aligned} Q_x=3x^2+16xy,\qquad(I)\\\\ Q_y=8x^2+12(y+1)\mathrm{e}^y,\qquad(II) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} &(I)\Rightarrow Q=x^3+8x^2y+f(y)\stackrel{(II)}{\Rightarrow}8x^2+f'(y)=8x^2+12(y+1)\mathrm{e}^y\\\\ \Rightarrow&f'(y)=12(y+1)\mathrm{e}^y\Rightarrow f(y)=12y\mathrm{e}^y+C\\\\ \Rightarrow&Q=x^3+8x^2y+12y\mathrm{e}^y+C \stackrel{Q(0,0)=0}{\Rightarrow}C=0\\\\ \Rightarrow& Q=x^3+8x^2y+12y\mathrm{e}^y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 设 $\displaystyle L$ 的起点为 $\displaystyle (x_0,y_0)$, 终点为 $\displaystyle (x_1,y_1)$, 则

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_L (3x^2y+8xy^2)\mathrm{ d} x+(x^3+8x^2y+12y\mathrm{e}^y)\mathrm{ d} y\\\\ =&\int_L\mathrm{ d} \left(x^3y+4x^2y^2+12(y-1)\mathrm{e}^y\right)\\\\ =&\left(x^3y+4x^2y^2+12(y-1)\mathrm{e}^y\right)|_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

787、 9、 (1)、 求 $\displaystyle \int_{(1,1,1)}^{(2,3,4)}x\mathrm{ d} x+2y\mathrm{ d} y+3z\mathrm{ d} z$. (首都师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \mbox{原式}=\left.\left(\frac{x^2}{2}+y^2+\frac{3z^2}{2}\right)\right|_{(1,1,1)}^{(2,3,4)} =32$. 当然你可由 Stokes 公式知题中曲线积分与路径无关, 而可取定一条路径后化为定积分的形式再求解.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

788、 (2)、 求 $\displaystyle \iint_S x^5\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$, 其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1, z\geq 0$, 取上侧. (首都师范大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varSigma: x^2+\frac{y^2}{4}\leq 1, z=0$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma\cdots =\iint_{x^2+\frac{y^2}{4}\leq 1}x^5\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\mbox{原式}-\iint_\varSigma\cdots\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iiint_{x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}\leq 1\atop z\geq 0}5x^4\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&5\int_{-1}^1 x^4\mathrm{ d} x\iint_{\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}\leq 1-x^2\atop z\geq 0}\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z =5\int_{-1}^1 x^4\cdot \frac{\pi \cdot 2\sqrt{1-x^2}\cdot 4\sqrt{1-x^2}}{2}\mathrm{ d} x\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}& 40\pi \int_0^1 x^4(1-x^2)\mathrm{ d} x=\frac{16\pi}{7}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

789、 (2)、 $\displaystyle \oint_L (x+z)\mathrm{ d} x+x^4\mathrm{ d} z$, 其中 $\displaystyle L$ 为曲面

$$\begin{aligned} x^2+y^2+z^2=1, x^2+y^2=3z^2\left(z\geq 0\right) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

的交线, 从 $\displaystyle z$ 轴正向看是逆时针方向. (四川大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 联合两方程知

$$\begin{aligned} z=\frac{1}{2}, x^2+y^2=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta, y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta, \theta: 0\to 2\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\int_0^{2\pi} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right)'\mathrm{ d} \theta=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

790、 (3)、 $\displaystyle \iint_\varSigma(y-2z)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$, 其中 $\displaystyle \varSigma$ 为曲面

$$\begin{aligned} x^2+y^2+z^2=2z\left(0\leq z\leq 1\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

法向量与 $\displaystyle z$ 轴正向的夹角为锐角. (四川大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 取 $\displaystyle S: x^2+y^2\leq 1, z=1$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_S \cdots=\iint_{x^2+y^2\leq 1} \mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\pi, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&-\left(-\mbox{原式}+\iint_S\cdots\right)+\iint_S\cdots\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&-\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq 2z\atop 0\leq z\leq 1}(0+1)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+\pi\\\\ =&-\frac{1}{2}\cdot\frac{4\pi}{3}+\pi=\frac{\pi}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

791、 9、 (15 分) 设 $\displaystyle \varOmega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 中一闭区域, $\displaystyle \varSigma$ 为其边界, 且分段光滑, $\displaystyle u,v$ 有连续的二阶偏导数, 证明:

$$\begin{aligned} \iiint_\varOmega v\Delta u\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z=\iint_\varSigma v\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\mathrm{ d} S -\iiint_\varOmega \nabla u\cdot \nabla v \mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}$, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}$ 为 $\displaystyle u$ 沿曲面 $\displaystyle \varSigma$ 外法线方向的方向导数, $\displaystyle \nabla u, \nabla v$ 分别为 $\displaystyle u,v$ 的的梯度. (苏州大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} &\iiint_\varOmega v\Delta u\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+\iiint_\varOmega \nabla u\cdot \nabla v \mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&\iiint_\varOmega \left[\frac{\partial}{\partial x}\left(v\frac{\partial u}{\partial x}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\left(v\frac{\partial u}{\partial y}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\left(v\frac{\partial u}{\partial z}\right)\right]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&\iint_\varSigma v\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z +v\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x +v\frac{\partial u}{\partial z}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\iint_\varSigma v\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\mathrm{ d} S. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

792、 5、 计算曲线积分

$$\begin{aligned} I=\int_L (yz^2-\cos z)\mathrm{ d} x+2xz^2\mathrm{ d} y+(2xyz+x\sin z)\mathrm{ d} z, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 为取上侧的曲面 $\displaystyle S: 4x^2+y^2+z^2=1\ (x,y,z\geq 0)$ 的边界曲线, 其正向与曲面 $\displaystyle S$ 的正法向量满足右手法则. (太原理工大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=4x^2+y^2+z^2$, 则 $\displaystyle S$ 上 $\displaystyle (x,y,z)$ 处的法向量为

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\left\{F_x,F_y,F_z\right\}=\left\{4x,y,z\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其模长为 $\displaystyle \sqrt{16x^2+y^2+z^2}=\sqrt{12x^2+1}$. 故 $\displaystyle \vec{n}=\frac{\left\{4x,y,z\right\}}{\sqrt{12x^2+1}}$. 于是

$$\begin{aligned} I&\xlongequal{\tiny\mbox{Stokes}} \iint_S \frac{1}{\sqrt{12x^2+1}}\left|\begin{array}{cccccccccc}4x&y&z\\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ yz^2-\cos z&2xz^2&2xyz+x\sin z\end{array}\right|\mathrm{ d} S\\\\ &=\iint_S \frac{\left\{4x[2xz-4xz]-y[2yz+\sin z-(2yz+\sin z)] +z[2z^2-z^2]\right\}}{\sqrt{12x^2+1}}\mathrm{ d} S\\\\ &=\iint_S\frac{z^3-8x^2z}{\sqrt{12x^2+1}}\mathrm{ d} S\\\\ &\stackrel{z=\sqrt{1-4x^2-y^2}}{=} \iint_{4x^2+y^2\leq 1\atop x\geq 0, y\geq 0} \frac{\sqrt{1-4x^2-y^2}(1-12x^2-y^2)}{\sqrt{12x^2-1}}\cdot \sqrt{\frac{12x^2+1}{1-4x^2-y^2}}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=\iint_{4x^2+y^2\leq 1\atop x\geq 0, y\geq 0}(1-12x^2-y^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y \stackrel{2x=u, y=v}{=}\frac{1}{2}\iint_{u^2+v^2\leq 1\atop u\geq 0, v\geq 0}(1-3u^2-v^2)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \frac{1}{2}\frac{1}{2}\iint_{u^2+v^2\leq 1\atop u\geq 0, v\geq 0}[1-2(u^2+v^2)]\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v =\frac{1}{2}\int_0^1 (1-2r^2)\cdot\frac{2\pi r}{4}\mathrm{ d} r=0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

793、 9、 (1)、 求

$$\begin{aligned} \iint_S (x^2+?) \mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(2y^2+?)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} z+(3z^2+?)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S: (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^3=1$, 取外侧. [张祖锦注: ? 中的部分构成的向量的散度为 $\displaystyle 0$] (天津大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 注意 $\displaystyle \mathrm{ d} x\mathrm{ d} z=-\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x$,

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iiint_{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^3\leq 1}(2x-4y+6xz)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ &\stackrel{x-1=u, y-2=v, z-3=w}{=}\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1}\left[\begin{array}{c}2(u+1)-4(v+2)\\\\ +6(w+3)\end{array}\right]\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 12\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w=12\cdot \frac{4\pi}{3}=16\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

794、 (2)、 求 $\displaystyle \iint_\varSigma \sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}\mathrm{ d} S$, 其中 $\displaystyle \varSigma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$. (天津大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} &\mbox{原式}=2\iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} \sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4} +\frac{z^2}{c^4}}\cdot \frac{c}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}} \sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&2c \iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} \frac{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4} +\frac{z^2}{c^4}}{ \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} }\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&2c \iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} \frac{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4} +\frac{1}{c^2}\left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)}{ \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} }\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&2abc\iint_{u^2+v^2\leq 1} \frac{\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2} +\frac{1}{c^2}\left(1-u^2-v^2\right)}{\sqrt{1-u^2-v^2}}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\left(x=au,\ y=bv\right)\\\\ =&2abc\left[\begin{array}{c}\frac{1}{a^2} \iint_{u^2+v^2\leq 1} \frac{u^2}{\sqrt{1-u^2-v^2}}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v +\frac{1}{b^2}\iint_{u^2+v^2\leq 1} \frac{v^2}{\sqrt{1-u^2-v^2}}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\\\\ +\frac{1}{c^2}\iint_{u^2+v^2\leq 1}\sqrt{1-u^2-v^2}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\end{array}\right]\\\\ =&2abc\left[\frac{1}{2} \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right) 2\pi \int_0^1 \frac{r^2}{\sqrt{1-r^2}}r\mathrm{ d} r +\frac{1}{c^2} 2\pi \int_0^1 \sqrt{1-r^2}r\mathrm{ d} r\right]\\\\ =&2abc\left[\frac{1}{2} \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right) 2\pi \cdot\frac{2}{3} +\frac{1}{c^2} 2\pi \cdot \frac{1}{3}\right] =\frac{4\pi abc}{3}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

795、 6、 求 $\displaystyle u(x,y)=\oint_C \frac{\cos\angle(\vec{r},\vec{n})}{r}\mathrm{ d} s$, 其中

$$\begin{aligned} r=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$\displaystyle \vec{r}$ 为 $\displaystyle M(x,y)$ 到 $\displaystyle C$ 上点 $\displaystyle (\xi,\eta)$ 的向量, $\displaystyle M(x,y)$ 不在 $\displaystyle C$ 上, $\displaystyle \vec{n}$ 为 $\displaystyle C$ 在 $\displaystyle (\xi,\eta)$ 的单位外法向量. (同济大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} u(x,y)=&\oint_C \frac{\vec{r}\cdot\vec{n}}{r^2}\mathrm{ d} s =\oint_C \left[\frac{\xi-x}{r^2}\cos\angle(\vec{n},x)+\frac{\eta-y}{r^2}\cos\angle(\vec{n},y)\right]\mathrm{ d} s\\\\ =&\oint_C \left\{\frac{\xi-x}{r^2}\cos\angle(\vec{t},y) +\frac{\eta}{r^2}\cos\left[\pi-(\vec{t},y)\right]\right\}\mathrm{ d} s\\\\ =&\oint_C \frac{-(\eta-y)\mathrm{ d} \xi+(\xi-x)\mathrm{ d} \eta}{r^2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(1)、 若 $\displaystyle M$ 在 $\displaystyle C$ 的外部, 则 $\displaystyle u(x,y)\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} 0$. (2)、 若 $\displaystyle M$ 在 $\displaystyle C$ 的内部, 则

$$\begin{aligned} &u(x,y)=\oint_{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2=\varepsilon^2}\cdots\\\\ =&\frac{1}{\varepsilon^2}\oint_{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2=\varepsilon^2}[-(\eta-y)\mathrm{ d} \xi+(\xi-x)\mathrm{ d} \eta]\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Green}}&\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2\leq \varepsilon^2}2\mathrm{ d} \xi\mathrm{ d} \eta=2\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

796、 (2)、 已知 $\displaystyle f$ 连续可微, 且 $\displaystyle f(1)=2, f(4)=3$, 求 $\displaystyle \oint_L\frac{f(xy)}{y}\mathrm{ d} y$, 其中 $\displaystyle L$ 是 $\displaystyle y=x, y=4x, xy=1, xy=4$ 所围区域的边界, 取逆时针方向. (武汉大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle L$ 围成的区域为 $\displaystyle \varOmega$, 则

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \iint_\varOmega \frac{1}{y}f'(xy)\cdot x\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\iint_\varOmega f'(xy)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设 $\displaystyle \frac{y}{x}=u, xy=v$, 则 $\displaystyle \left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|=2u$, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\iint_{[1,4]^2}f'(v)\frac{1}{2u}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v =\frac{1}{2}\int_1^4\frac{\mathrm{ d} u}{u}\int_1^4 f'(v)\mathrm{ d} v\\\\ =&\frac{1}{2}\ln 4[f(4)-f(1)]=\ln 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

797、 (3)、 求曲面积分 $\displaystyle \iint_S z\left(\frac{\alpha x}{a^2}+\frac{\beta y}{b^2}+\frac{\gamma z}{c^2}\right)\mathrm{ d} S$, 其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的上半部分, $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 为 $\displaystyle S$ 的外方向余弦. (武汉大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 知

$$\begin{aligned} &\frac{x}{a^2}+\frac{zz_x}{c^2}=0, \frac{y}{b^2}+\frac{zz_y}{c^2}=0\\\\ \Rightarrow& \frac{z^2}{c^4}(1+z_x^2+z_y^2)=\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}\\\\ \Rightarrow& z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=c^2\sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

又设 $\displaystyle A=\sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}$, 则

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\iint_S z\left(\frac{x}{a^2}\cdot\frac{\frac{x}{a^2}}{A} +\frac{y}{b^2}\cdot\frac{\frac{y}{b^2}}{A} +\frac{z}{c^2}\cdot\frac{\frac{z}{c^2}}{A}\right)\mathrm{ d} S\\\\ &=\iint_S z\sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}\mathrm{ d} S =\iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} c^2\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=\iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} \left(\frac{c^2}{a^4}x^2 +\frac{c^2}{b^4}y^2+1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=ab\iint_{u^2+v^2\leq 1} \left(\frac{c^2}{a^2}u^2+\frac{c^2}{b^2}v^2+1-u^2-v^2\right)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} ab\left[\frac{c^2}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)-1\right] \iint_{u^2+v^2\leq 1}(u^2+v^2)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v +\pi ab\\\\ &=ab\left[\frac{c^2}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)-1\right] \int_0^1 r^2\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r +\pi ab\\\\ &=\frac{\pi ab}{2}\left[\frac{c^2}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)-1\right] +\pi ab =\frac{\pi abc^2}{4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

798、 (2)、 求曲线积分 $\displaystyle \int_L [(x^2+y^2)^2+y^2]\mathrm{ d} s$, 其中 $\displaystyle L: x^2+y^2=x$. (武汉理工大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\stackrel{x^2+y^2=x}{=}\int_L (x^2+y^2)\mathrm{ d} s \stackrel{x^2+y^2=x}{=}\int_L x\mathrm{ d} s\\\\ &\stackrel{x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\theta, y=\frac{1}{2}\sin \theta}{=}\int_0^{2\pi}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\theta\right)\cdot \frac{1}{2}\mathrm{ d} \theta\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \frac{1}{4}\cdot 2\pi=\frac{\pi}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

799、 (6)、 求曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_S xz\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z-x^2y\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+y^2z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle S$ 由 $\displaystyle z=x^2+y^2$, 柱面 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 以及三个坐标面在第一个卦限所围曲面外侧. (武汉理工大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}&\iiint_{z\leq x^2+y^2\leq 1\atop x,y\geq 0} (z-x^2+y^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \iiint_{z\leq x^2+y^2\leq 1\atop x,y\geq 0} z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&\int_0^1 z\mathrm{ d} z\iint_{z\leq x^2+y^2\leq 1\atop x,y\geq 0}s\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\int_0^1 z\frac{\pi(1-z)}{4}\mathrm{ d} z=\frac{\pi}{24}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

800、

(10)、 $\displaystyle \int_{x^2+y^2=1}\ln \left[(x-4)^2+y^2\right]\mathrm{ d} s=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (西安交通大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_{x^2+y^2=1}\ln(17-8x)\mathrm{ d} s=\int_0^{2\pi} \ln (17-8\cos\theta)\mathrm{ d} \theta\\\\ \stackrel{\theta-\pi=\tau}{=}&\int_{-\pi}^\pi \ln (17+8\cos\tau)\mathrm{ d} \tau \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 2\int_0^\pi \ln (17+8\cos\tau)\mathrm{ d} \tau\\\\ =&2\pi \ln 17+2\int_0^\pi \ln \left(1+\frac{8}{17}\cos\tau\right)\mathrm{ d} \tau. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设 $\displaystyle I(s)=\int_0^\pi \ln\left(1+s\cos\tau\right)\mathrm{ d} \tau, 0 < s < 1$, 则

$$\begin{aligned} I'(s)=&\int_0^\pi \frac{\cos\tau}{1+s\cos\tau}\mathrm{ d} \tau \stackrel{\tan\frac{\tau}{2}=u}{=}\int_0^\infty \frac{\frac{1-u^2}{1+u^2}}{1+s\frac{1-u^2}{1+u^2}}\frac{2}{1+u^2}\mathrm{ d} u\\\\ =&2\int_0^\infty \frac{1-u^2}{(1+u^2)[(1+s)+(1-s)u^2]}\mathrm{ d} u\\\\ =&\frac{2}{s}\int_0^\infty \left[\frac{1}{1+u^2}-\frac{1}{(1+s)+(1-s)u^2}\right]\mathrm{ d} u\\\\ =&\frac{2}{s}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2\sqrt{1-s^2}}\right) =\frac{\pi}{s}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-s^2}}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} I(s)=&\int_0^s \frac{\pi}{\tau}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\tau^2}}\right)\mathrm{ d} \tau\stackrel{\tau=\sin \theta}{=}\cdots=\pi \ln \frac{1+\sqrt{1-s^2}}{2},\\\\ \mbox{原式}=&2\pi \ln 17+2\pi \ln \frac{1+\frac{15}{17}}{2}=8\pi \ln 2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

801、 6、 (15 分) 求曲面积分

$$\begin{aligned} I=\iint_\varSigma 4xz\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z-2yz\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+(1-z^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varSigma$ 是由 $\displaystyle z=\mathrm{e}^y\ (0\leq y\leq 1)$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所得的曲面, 方向取下侧. (西北大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \varSigma: x^2+y^2\leq \mathrm{e}^{2a}, z=\mathrm{e}^a$, 取上侧, 则

$$\begin{aligned} \iint_\varSigma \cdots =(1-\mathrm{e}^{2a}) \iint_\varSigma \mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =(1-\mathrm{e}^{-2a})\cdot \pi \mathrm{e}^{2a}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&-\left[\iint_\varSigma-\iint_S\cdots\right]+\iint_\varSigma\cdots\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}& -\iiint_{\mathrm{e}^{\sqrt{x^2+y^2}}\leq z\atop 0\leq z\leq \mathrm{e}^a} (4z-2z-2z)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z +\iint_\varSigma\cdots\\\\ =&0+(1-\mathrm{e}^{-2a})\cdot \pi \mathrm{e}^{2a} =(1-\mathrm{e}^{-2a})\cdot \pi \mathrm{e}^{2a}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

802、 2、 计算积分. (1)、 (10 分) 求

$$\begin{aligned} I=\int_L(\mathrm{e}^x+1)\cos y\mathrm{ d} x-[(\mathrm{e}^x+x)\sin y-x]\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 为由点 $\displaystyle A(2,0)$ 沿曲线 $\displaystyle y=\sqrt{4-x^2}$ 到点 $\displaystyle B(-2,0)$ 的有限曲线段. (西南大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle P=(\mathrm{e}^x+1)\cos y, Q=-[(\mathrm{e}^x+x)\sin y-x]$, 则 $\displaystyle Q_x-P_y=1$. 记 $\displaystyle \ell: (-2,0)\xrightarrow{y=0}{\to}(2,0)$, 则

$$\begin{aligned} \int_\ell\cdots =\int_{-2}^2 (\mathrm{e}^x+1)\mathrm{ d} x=\mathrm{e}^2-\mathrm{e}^{-2}+4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} I=&\left(I+\int_\ell\cdots\right)-\iint_\ell\cdots\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{Green}}&\iint_{0\leq y\leq \sqrt{4-x^2}\atop 0\leq x\leq 2}1\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y-(\mathrm{e}^2-\mathrm{e}^{-2}+4)\\\\ =&\frac{\pi \cdot 2^2}{2}-(\mathrm{e}^2-\mathrm{e}^{-2}+4) =2\pi+\mathrm{e}^{-2}-\mathrm{e}^2-4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

803、 11、 (10 分)设 $\displaystyle S$ 是锥面 $\displaystyle z^2=x^2+y^2$ 与平面 $\displaystyle z=\sqrt{2}\left(\frac{x}{2}+1\right)$ 所围区域 $\displaystyle V$ 的全表面, 求 $\displaystyle S$ 的面积. (西南交通大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由

$$\begin{aligned} \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\left\{\begin{array}{llllllllllll}\sqrt{2},&z=\sqrt{x^2+y^2},\\\\ \sqrt{\frac{3}{2}},&z=\sqrt{2}\left(\frac{x}{2}+1\right)\end{array}\right. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

及两曲面的交线在 $\displaystyle xOy$ 面上的投影为 $\displaystyle x^2+y^2=\sqrt{2}\left(\frac{x}{2}+1\right)\Leftrightarrow \left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2+y^2=\sqrt{2}+\frac{1}{8}$ 知所求

$$\begin{aligned} =&\iint_{\left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2+y^2\leq\sqrt{2}+\frac{1}{8}} \left(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&\left(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\cdot \pi \left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right) =\frac{\pi(16+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})}{16}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

804、 12、 (10 分) 设 $\displaystyle S$ 是单位球面 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧, 求曲面积分

$$\begin{aligned} \iint_S \frac{x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+y\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y}{\left(2x^2+2y^2+z^2\right)^\frac{3}{2}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(西南交通大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle (P,Q,R)=\frac{(x,y,z)}{(2x^2+2y^2+z^2)^\frac{3}{2}}$, 则 $\displaystyle P_x+Q_y+R_z=0$, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iint_{2x^2+2y^2+z^2=\varepsilon^2\ll 1}P\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+Q\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+R\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=\frac{1}{\varepsilon^3}\iint_{2x^2+2y^2+z^2=\varepsilon^2\ll 1}x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+y\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}\frac{1}{\varepsilon^3}\iiint_{2x^2+2y^2+z^2\leq \varepsilon^2} 3\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z =\frac{3}{\varepsilon^3} \cdot \frac{4\pi}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 1 =2\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

805、 3、 设 $\displaystyle a > 0$, 计算曲线积分

$$\begin{aligned} I=\int_L (\mathrm{e}^x\sin y-y^2)\mathrm{ d} x+\mathrm{e}^x\cos y\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle L$ 是从 $\displaystyle A (a,0)$ 到 $\displaystyle O (0,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^2+y^2=ax$. (湘潭大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle \ell: y=0, x: 0\to a$, 则 $\displaystyle \int_\ell \cdots=0$, 而

$$\begin{aligned} I&=I+\int_{\ell}\cdots\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} \iint_{x^2+y^2\leq ax\atop y\geq 0}2y\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &\stackrel{x=r\cos\theta, y=r\sin\theta}{=}\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \theta\int_0^{a\cos \theta}2r\sin\theta\cdot r\mathrm{ d} r =\frac{a^3}{6}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/