张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第32天
714、 2、 (20 分) 计算 $\displaystyle I=\iiint_\varOmega z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$, 其中 $\displaystyle \varOmega$ 是两个球面 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=2z$ 与 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=z$ 之间的点集. (上海交通大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle x=r\sin\phi\cos\theta, y=r\sin\phi \sin\theta, z=r\cos\phi$, 则
$$\begin{aligned} r\cos\phi\leq r^2\leq 2r\cos\phi\Leftrightarrow \cos\phi\leq r\leq 2\cos\phi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} I=\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d}\phi \int_0^{2\pi}\mathrm{ d} \theta\int_{\cos\phi}^{2\cos\phi}r\cos\phi\cdot r^2\sin\phi\mathrm{ d} r=\frac{5\pi}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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715、 10、 设 $\displaystyle f$ 连续, $\displaystyle F(t)=\iiint_{\varOmega_t}\left[x^2+f(x^2+y^2)\right]\mathrm{ d} V$, 其中
$$\begin{aligned} \varOmega_t=\left\{(x,y,z);x^2+y^2\leq t^2, 0\leq z\leq \sqrt{x^2+y^2}\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(1)、 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{ d} F}{\mathrm{ d} t}$; (2)、 求 $\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{F(t)}{t^3}$. (首都师范大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、
$$\begin{aligned} F(t)\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&\int_0^t \mathrm{ d} z\iint_{z^2\leq x^2+y^2\leq t^2}\left[\frac{x^2+y^2}{2}+f(x^2+y^2)\right]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&\int_0^t \mathrm{ d} z\int_z^t \left[\frac{r^2}{2}+f(r^2)\right]\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} F'(t)=\int_0^t \left[\frac{t^2}{2}+f(t)^2\right]\cdot 2\pi t\mathrm{ d} r=2\pi\left[\frac{t^2}{2}+f(t^2)\right]t^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(2)、
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}} \lim_{t\to 0}\frac{F'(t)}{3t^2} =\frac{1}{3}\lim_{t\to 0}2\pi\left[\frac{t^2}{2}+f(t^2)\right] =\frac{2\pi f(0)}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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716、 5、 (15 分) 求球体
$$\begin{aligned} (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2\leq 12 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
在平面 $\displaystyle x+y+z=3$ 上方的体积. (苏州大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设球体在平面下方的部分为 $\displaystyle \varOmega$, 则所求
$$\begin{aligned} =\frac{4\pi}{3}(2\sqrt{3})^3-|\varOmega|. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
设 $\displaystyle x-2=u, y-2=v, z-2=w$, 则
$$\begin{aligned} |\varOmega|=\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 12\atop u+v+w\leq -3}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
将 $\displaystyle \eta_1=\frac{(1,1,1)^\mathrm{T}}{\sqrt{3}}$ 扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^3$ 的一组标准正交基 $\displaystyle P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$, 并作正交线性变换
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}X\\\\Y\\\\Z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\eta_1\\\\\eta_2\\\\\eta_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}u\\\\v\\\\w\end{array}\right)=P^\mathrm{T}\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccc}u\\\\v\\\\w\end{array}\right), \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} |\varOmega|=&\iiint_{X^2+Y^2+Z^2\leq 12\atop X\leq -\sqrt{3}}\mathrm{ d} X\mathrm{ d} Y\mathrm{ d} Z =\int_{-2\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\pi(12-X^2)\mathrm{ d} X=5\sqrt{3}\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是所求 $\displaystyle =32\sqrt{3}\pi-5\sqrt{3}\pi=27\sqrt{3}\pi$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
717、 4、 设 $\displaystyle z=z(x,y)$ 是由 $\displaystyle x-az=\varphi(y-bz)$ 确定的隐函数, 其中 $\displaystyle \varphi$ 是连续可微函数, 且 $\displaystyle a-b\varphi'\neq 0$. 求重积分
$$\begin{aligned} \iint_D (az_x+bz_y)\mathrm{e}^\frac{x-y}{x+y}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=1$ 所围成的区域. (太原理工大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle x-az=\varphi(y-bz)$ 知
$$\begin{aligned} 1-az_x=\varphi'(y-bz)(-bz_x)\Rightarrow& z_x=\frac{1}{a-b\varphi'(y-bz)},\\\\ -az_y=\varphi'(y-bz)(1-bz_y)\Rightarrow& z_y=\frac{-\varphi'(y-bz)}{a-b\varphi'(y-bz)}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故 $\displaystyle az_x+bz_y=1$. 设
$$\begin{aligned} u=x-y, v=x+y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则
$$\begin{aligned} \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=2, x=\frac{u+v}{2}, y=\frac{v-u}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned} x\geq 0\Leftrightarrow u\geq -v, y\geq 0\Leftrightarrow u\leq v, x+y\leq 1\Leftrightarrow v\leq 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\iint_D \mathrm{e}^\frac{x-y}{x+y}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y =\int_0^1 \mathrm{ d} v\int_{-v}^v \mathrm{e}^\frac{u}{v}\cdot \frac{1}{2}\mathrm{ d} u\\\\ =&\frac{1}{2}\int_0^1 v(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1})\mathrm{ d} v =\frac{1}{4}\left(\mathrm{e}-\frac{1}{\mathrm{e}}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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718、 (2)、 讨论 $\displaystyle \iint_D \frac{\sin^3x}{x}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$ 的敛散性, 其中 $\displaystyle D=(0,\infty)\times [0,1]$. (天津大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 注意: 反常二重积分的收敛就是它的绝对收敛性 (参考华东师大数学分析第 5 版下册第 251 页定理 21.19). 由
$$\begin{aligned} &\iint_D \left|\frac{\sin^3x}{x}\right|\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y \geq \iint_D \frac{\sin^4x}{x}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&\int_0^1 \mathrm{ d} y\int_0^\infty \left(\frac{3}{8}-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}\right)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=+\infty \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知原式发散!跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
719、 (3)、 求二重积分 $\displaystyle \iint_D \frac{\mathrm{ d} \sigma}{\sqrt{x+y+4}}$, 其中 $\displaystyle D: |x|+|y|\leq 1$. (武汉理工大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle x+y=u, x-y=v$, 则 $\displaystyle \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=2$, 而
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_{-1}^1 \mathrm{ d} u\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{u+4}}\cdot \frac{1}{2}\mathrm{ d} v\\\\ =&\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{u+4}}\mathrm{ d} u=2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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720、 (4)、 求 $\displaystyle I=\int_0^1 \mathrm{ d} x\int_0^{1-x}\mathrm{ d} z\int_0^{1-x-z}(1-y)\mathrm{e}^{-(1-y-z)^2}\mathrm{ d} y$. (武汉理工大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^1 \mathrm{ d} y\int_0^{1-y}\mathrm{ d} z\int_0^{1-y-z}(1-y)\mathrm{e}^{-(1-y-z)^2}\mathrm{ d} x\\\\ =&\int_0^1 (1-y)\mathrm{ d} y\int_0^{1-y} (1-y-z)\mathrm{e}^{-(1-y-z)^2}\mathrm{ d} z\\\\ \stackrel{1-y-z=t}{=}&\int_0^1 (1-y)\mathrm{ d} y\int_0^{1-y} t\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{ d} t\\\\ =&\int_0^1 (1-y)\cdot\frac{1}{2}\left[1-\mathrm{e}^{-(1-y)^2}\right]\mathrm{ d} y\\\\ \stackrel{1-y=s}{=}&\cdots\xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}} \cdots=\frac{1}{4\mathrm{e}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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721、 (9)、 $\displaystyle \iint_{x^2+y^2\leq 1}x^2\sin y\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (西安交通大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 0$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
722、 5、 (20 分) 计算二重积分
$$\begin{aligned} \iint_D r^2\sin\theta\sqrt{1-r^2\cos2\theta}\mathrm{ d} r\mathrm{ d} \theta, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle D=\left\{(\theta,r); 0\leq r\leq \sec\theta, \theta\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\right\}$. (西南财经大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle r\cos \theta\leq 1, 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow x\leq 1, 0\leq y\leq x$ 知
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\iint_D r\sin\theta\sqrt{1-r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}\cdot r\mathrm{ d} r\mathrm{ d} \theta\\\\ =&\int_0^1 \mathrm{ d} x\int_0^x y\sqrt{1-x^2+y^2}\mathrm{ d} y\\\\ \stackrel{y^2=s}{=}&\frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{ d} x\int_0^{x^2} \sqrt{1-x^2+s}\mathrm{ d} s =\frac{1}{3}\int_0^1 [1-(1-x^2)^\frac{3}{2}]\mathrm{ d} x\\\\ \stackrel{x=\sin t}{=}&\cdots=\frac{1}{3}-\frac{\pi}{16}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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723、 (2)、 (10 分) 求 $\displaystyle \int_0^1 \mathrm{ d} y\int_y^1 \frac{y}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{ d} x$. (西南大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^1\frac{\mathrm{ d} x}{\sqrt{1+x^3}}\int_0^x y\mathrm{ d} y =\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{ d} x\\\\ \stackrel{x^3=t}{=}&\frac{1}{6}\int_0^1 \frac{\mathrm{ d} t}{\sqrt{1+t}} =\left.\frac{1}{3}\sqrt{1+t}\right|_0^1=\frac{\sqrt{2}-1}{3}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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724、 (3)、 (10 分) 求
$$\begin{aligned} \iiint_V (y-z)\arctan z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle V$ 是由曲面 $\displaystyle x^2+\frac{(y-z)^2}{2}=r^2, z=0$ 及 $\displaystyle z=h$ 所围成的立体. (西南大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^h \mathrm{ d} z\int_{-r}^r \mathrm{ d} x\int_{z-\sqrt{2(r^2-x^2)}}^{z+\sqrt{2(r^2-x^2)}}(y-z)\arctan z\mathrm{ d} y\\\\ \stackrel{y-z=t}{=}&\int_0^h \mathrm{ d} z\int_{-r}^r \mathrm{ d} x\int_{-\sqrt{2(r^2-x^2)}}^{\sqrt{2(r^2-x^2)}}t\mathrm{ d} t \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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725、 10、 (10 分) 求 $\displaystyle \iiint_V y\cos(x+z)\mathrm{ d} V$, 其中 $\displaystyle V$ 由 $\displaystyle y=\sqrt{x}, y=0, z=0$ 及 $\displaystyle x+z=\frac{\pi}{2}$ 所围成. (西南交通大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} x\int_0^{\sqrt{x}}\mathrm{ d} y\int_0^{\frac{\pi}{2}-x} y\cos (x+z)\mathrm{ d} z\\\\ =&\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} x\int_0^{\sqrt{x}} y(1-\sin x)\mathrm{ d} y=\cdots=\frac{\pi^2-8}{16}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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726、 8、 (15 分) 计算 $\displaystyle \iiint_V (x^2-x^2y+xy+y^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$, 其中 $\displaystyle V: x^2+y^2+z^2\leq 1$. (云南大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&\iiint_V (x^2+y^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}\frac{2}{3}\iiint_V (x^2+y^2+z^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ =&\frac{2}{3}\int_0^1 r^2\cdot 4\pi r^2\mathrm{ d} r=\frac{8\pi}{15}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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727、 (5)、 设函数 $\displaystyle f(x,y)$ 连续, 交换二重积分的次序 $\displaystyle \int_0^4 \mathrm{ d} x\int_x^{2\sqrt{x}} f(x,y)\mathrm{ d} y$ 得 $\displaystyle \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$. (长安大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \int_0^4 \mathrm{ d} y\int_\frac{y^2}{4}^y f(x,y)\mathrm{ d} x$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
728、 (6)、 (10 分) 设 $\displaystyle f(x,y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x,y); x^2+y^2\leq R^2\right\}$ 上有一阶连续偏导数, 在圆周 $\displaystyle x^2+y^2=R^2$ 上 $\displaystyle f(x,y)=0$, 且 $\displaystyle f(0,0)=2023$, 求
$$\begin{aligned} \lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{-1}{2\pi}\iint_{\varepsilon^2\leq x^2+y^2\leq R^23}\frac{xf_x'+yf_y'}{x^2+y^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(长安大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由
$$\begin{aligned} &\quad \lim_{\varepsilon\to 0^+}\iint_{\varepsilon^2\leq x^2+y^2\leq 1} \frac{xf_x'+yf_y'}{x^2+y^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=\lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_0^{2\pi} \int_\varepsilon^1 \frac{r\cos \theta f_x'+r\sin \theta f_y'}{r^2}\cdot r\mathrm{ d} r \mathrm{ d} \theta\\\\ &\quad \left(x=r\cos\theta, y=r\sin \theta\right)\\\\ &=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_0^{2\pi} \int_\varepsilon^1 (\cos \theta f_x'+\sin \theta f_y')\mathrm{ d} r \mathrm{ d} \theta\\\\ &=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_0^{2\pi} \int_\varepsilon^1 \frac{\partial f}{\partial r}\mathrm{ d} r\mathrm{ d} \theta\\\\ &=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_0^{2\pi} -f(\varepsilon\cos\theta,\varepsilon\sin \theta)\mathrm{ d} \theta\left(f|_{\partial D}=0\right)\\\\ &=-2\pi\cdot \lim_{\varepsilon\to 0^+} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(\varepsilon \cos\theta, \varepsilon\sin\theta)\mathrm{ d} \theta\\\\ &=-2\pi f(0) \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
知原式 $\displaystyle =f(0,0)=2023$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/
729、 3、 (10 分) 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上是连续函数, 求二重积分
$$\begin{aligned} \iint_D x[1-yf(x^2-y^2)]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle y=x^3, y=1, x=-1$ 所围成的区域. (郑州大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle F=xyf(x^2-y^2)$, 则 $\displaystyle F(-x,-y)=F(x,y)$. 而可将 $\displaystyle D$ 在 $\displaystyle x\geq 0$ 的部分移到它关于原点的对称部分.
$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&\int_D x\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y+\int_{[-1,0]\times [-1,1]}F(x,y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&\int_{-1}^1 x\mathrm{ d} x\int_{x^3}^{1}\mathrm{ d} y+0\left(\mbox{$F$ 关于 $\displaystyle y$ 是奇函数}\right)\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&-\frac{2}{5}+0=-\frac{2}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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730、 8、 (15 分) 设 $\displaystyle r > 0$, 计算球面 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=r^2$ 与圆柱面 $\displaystyle x^2+y^2=rx\ (r > 0)$ 所围区域的体积. (中国人民大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle x=\rho \cos\theta, y=\rho \sin\theta$, 则 $\displaystyle \rho ^2\leq r\rho \cos\theta\Leftrightarrow \rho \leq r\cos\theta$, 而
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \theta\int_0^{r\cos\theta}\rho \mathrm{ d} \rho \int_{-\sqrt{r^2-\rho ^2}}^{\sqrt{r^2-\rho ^2}}\mathrm{ d} z\\\\ =&2\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \theta\int_0^{r\cos\theta}\sqrt{r^2-\rho ^2}\rho \mathrm{ d} \rho \\\\ \stackrel{\rho ^2=s}{=}&4\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \theta\int_0^{r^2\cos^2\theta} \sqrt{r^2-s}\frac{\mathrm{ d} s}{2}\\\\ =&2\int_0^\frac{\pi}{2} \left.-\frac{2}{3}(r^2-s)^\frac{3}{2}\right|_{s=0}^{s=r^2\cos^2\theta}\mathrm{ d} \theta\\\\ =&\frac{4}{3}\int_0^\frac{\pi}{2} (r^3-r^3\sin^3\theta)\mathrm{ d} \theta =\frac{2(3\pi-4)r^3}{9}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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731、 6、 (15 分) 求重积分 $\displaystyle \iint_{|x|+|y|\leq 1}\cos(x+y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$. (中山大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle u=x+y, v=x-y$, 则 $\displaystyle \left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|=2$, 而
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\iint_{[0,1]^2} \cos u\cdot \frac{1}{2}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v =\frac{1}{2}\int_{-1}^1 \mathrm{ d} v\int_{-1}^1 \cos u\mathrm{ d} u=2\sin 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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732、 9、 (10 分) 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且有 $\displaystyle \int_0^1 f(x)\mathrm{ d} x=A$. 证明:
$$\begin{aligned} \int_0^1 \mathrm{ d} x\int_x^1 f(x)f(y)\mathrm{ d} y=\frac{1}{2}A^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(重庆大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 交换 $\displaystyle x,y$ 的位置, 有
$$\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{ d} x\int_x^1 f(x)f(y)\mathrm{ d} y =\int_0^1 \mathrm{ d} y\int_y^1 f(y)f(x)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
交换积分次序, 又有
$$\begin{aligned} \int_0^1 \mathrm{ d} y\int_y^1 f(y)f(x)\mathrm{ d} x =\int_0^1 \mathrm{ d} x\int_0^x f(x)f(y)\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是
$$\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{ d} x\int_x^1 f(x)f(y)\mathrm{ d} y =&\frac{1}{2}\left[ \int_0^1\mathrm{ d} x\int_x^1 f(x)f(y)\mathrm{ d} y+\int_0^1 \mathrm{ d} x\int_0^x f(x)f(y)\mathrm{ d} y\right]\\\\ =&\frac{1}{2}\int_0^1\mathrm{ d} x\int_0^1 f(x)f(y)\mathrm{ d} y\\\\ =&\frac{1}{2}\int_0^1f(x)\mathrm{ d} x\int_0^1f(y)\mathrm{ d} y =\frac{A^2}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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733、 (6)、 求 $\displaystyle \iiint_V xyz\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$, 其中 $\displaystyle V: x^2+y^2+z^2\leq a^2, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0$. (重庆师范大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\int_0^a \mathrm{ d} r\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \phi \int_0^\frac{\pi}{2} r\sin\phi \cos\theta\cdot r\sin\phi \sin\theta\cdot r\cos \phi\cdot r^2\sin\phi\mathrm{ d} \theta\\\\ &=\int_0^a r^5\mathrm{ d} r\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^3\phi \cos\phi\mathrm{ d} \phi\int_0^\frac{\pi}{2}\sin\theta\cos\theta\mathrm{ d} \theta\\\\ &\stackrel{\sin\phi=t, \sin\theta=s}{=}\cdots=\frac{a^6}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} =\frac{a^6}{36}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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734、 9、 (10 分) 求积分
$$\begin{aligned} I=\int_L \mathrm{e}^x(1-\cos y)\mathrm{ d} x-\mathrm{e}^x(y-\sin y)\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle y=\sin x$ 从 $\displaystyle (0,0)$ 到 $\displaystyle (\pi,0)$ 的一段. (安徽大学2023年高等代数考研试题) [曲线曲面积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle P=\mathrm{e}^x(1-\cos y), Q=-\mathrm{e}^x(y-\sin y)$, 则 $\displaystyle Q_x-P_y=-y\mathrm{e}^x$. 再设 $\displaystyle L: (0,0)\xrightarrow{y=0}(\pi,0)$, 则 $\displaystyle \int_L \cdots =0$, 而
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&-\left(-\mbox{原式}+\int_L\cdots\right)\xlongequal{\tiny\mbox{Green}} -\iint_{0\leq y\leq \sin x\atop 0\leq x\leq \pi}(-y\mathrm{e}^x)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&\int_0^\pi \mathrm{e}^x \mathrm{ d} x\int_0^{\sin x}y\mathrm{ d} y=\frac{\mathrm{e}^\pi-1}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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735、 9、 求第二型曲面积分
$$\begin{aligned} \iint_S (xz^2+y^2)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z+(x^2y+z^4)\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+(3x^2+4y^2+y^2z)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle x^2+2xy+2y^2+z^2=1$, 方向取其外侧. (北京工业大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /
$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}}\iiint_{x^2+2xy+2y^2+z^2\leq 1}(z^2+x^2+y^2)\mathrm{ d} V. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
作变换 $\displaystyle x+y=u, y=v, z=w\Rightarrow \left|\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}\right|=1$, 则
$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1}[w^2+(u-v)^2+v^2]\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1}(u^2+2v^2+w^2)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&\frac{4}{3}\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1}(u^2+v^2+w^2)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w =\frac{4}{3}\int_0^1 r^2\cdot 4\pi r^2\mathrm{ d} r=\frac{16\pi}{15}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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736、 8、 (15 分) 设 $\displaystyle a,b$ 为正常数, 函数 $\displaystyle f(x)$ 连续可微, $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle z=x^2+y^2$ 与 $\displaystyle z=8-x^2-y^2$ 所围成, 方向取外侧, 计算
$$\begin{aligned} I=\iint_S \frac{2}{b+y}f\left(\frac{a+x}{(b+y)^2}\right)\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z +\frac{1}{a+x}f\left(\frac{a+x}{(b+y)^2}\right)\mathrm{ d} z\mathrm{ d} x+z\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
(北京科技大学2023年数学分析考研试题) [曲线曲面积分 ]
纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设
$$\begin{aligned} P=\frac{2}{b+y}f\left(\frac{a+x}{(b+y)^2}\right), Q=\frac{1}{a+x}f\left(\frac{a+x}{(b+y)^2}\right), R=z, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
则 $\displaystyle P_x+Q_y+R_z=1$. 再设 $\displaystyle S$ 包围的区域为 $\displaystyle V$, 则
$$\begin{aligned} I&\xlongequal{\tiny\mbox{Gauss}} \iiint_V \mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z =\int_0^4\pi z\mathrm{ d} z+\int_4^8 \pi(8-z)\mathrm{ d} z=16\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
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发表于 2023-3-5 09:12:24