张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第31天

zhangzujin

手机查看请在浏览器中打开, 到了支付页面请截图, 并用支付宝或微信扫描之, 稍等后获得金钱, 即可购买. 偶偶因为网络问题充值不成功, 请与微信 pdezhang 联系, 发送论坛昵称与付款时间即可处理, 稍安勿躁. 购买后刷新网页才能正常显示数学公式.

张祖锦2023年数学专业真题分类70天之第31天

---

691、 7、 (15 分) 计算由球面 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=4a^2$ 与柱面 $\displaystyle x^2+y^2=2ax$ 所围成的立体图形的体积. (北京师范大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$, 则 $\displaystyle r^2\leq 2ar\cos\theta\Leftrightarrow r\leq 2a\cos\theta$, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \theta\int_0^{2a\cos\theta}r\mathrm{ d} r \int_{-\sqrt{4a^2-r^2}}^{\sqrt{4a^2-r^2}}\mathrm{ d} z\\\\ =&2\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \theta\int_0^{2a\cos\theta}\sqrt{4a^2-r^2}r\mathrm{ d} r\\\\ \stackrel{r^2=s}{=}&4\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \theta\int_0^{4a^2\cos^2\theta} \sqrt{4a^2-s}\frac{\mathrm{ d} s}{2}\\\\ =&2\int_0^\frac{\pi}{2} \left.-\frac{2}{3}(4a^2-s)^\frac{3}{2}\right|_{s=0}^{s=4a^2\cos^2\theta}\mathrm{ d} \theta\\\\ =&\frac{4}{3}\int_0^\frac{\pi}{2} (8a^3-8a^3\sin^3\theta)\mathrm{ d} \theta =\frac{16(3\pi-4)a^3}{9}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

692、 2、 计算题. (1)、 设 $\displaystyle D=\left\{(x,y); x^2+y^2\leq 1\right\}$, 实数 $\displaystyle \alpha,\beta$ 满足 $\displaystyle \alpha^2+\beta^2=1$. 计算二重积分

$$\begin{aligned} \iint_D \frac{\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y}{\sqrt{(1-\alpha x+\beta y)^2+(\beta x+\alpha y)^2}}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(大连理工大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle u=\alpha x-\beta y, v=\beta x+\alpha y$, 则 $\displaystyle \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\alpha^2+\beta^2=1$,

$$\begin{aligned} x=\alpha u+\beta v, y=-\beta u+\alpha v, x^2+y^2=u^2+v^2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

于是

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\iint_{u^2+v^2\leq 1} \frac{1}{\sqrt{(1-u)^2+v^2}}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

设 $\displaystyle u=1+r\cos\theta, v=r\sin\theta$, 则

$$\begin{aligned} &1\geq u^2+v^2=1+r^2+2r\cos\theta\Leftrightarrow r\leq -2\cos \theta\\\\ \Rightarrow& \cos\theta\leq 0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{3\pi}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\int_\frac{\pi}{2}^\frac{3\pi}{2}\mathrm{ d} \theta\int_0^{-2\cos\theta}\frac{1}{r}\cdot r\mathrm{ d} r=4. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

693、 (3)、 求三重积分

$$\begin{aligned} I=\iiint_\varOmega x^2\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varOmega$ 是由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与旋转抛物面 $\displaystyle z=x^2+y^2$ 所围成的有界区域. (电子科技大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}\frac{1}{2}\iiint_\varOmega (x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z\\\\ &=\frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{ d} z \iint_{z^2\leq x^2+y^2\leq z}(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &=\frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{ d} z \int_z^{\sqrt{z}} r^3\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r =\frac{\pi}{42}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

694、 3、 计算积分

$$\begin{aligned} \iiint_\varOmega (x^2+y^2+z^2)\mathrm{ d} V, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中$\varOmega$ 是由 $\displaystyle 1\leq x^2+y^2+z^2\leq 4$ 与 $\displaystyle z\geq \sqrt{x^2+y^2}$ 围成的区域. (东北大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle x=r\sin\phi\cos\theta, y=r\sin\phi\sin\theta, z=r\cos\phi$, 则

$$\begin{aligned} 1\leq r\leq 2, r\cos\phi\geq r\sin\phi\Leftrightarrow \cos \phi\geq \sin\phi\Leftrightarrow 0\leq \phi\leq\frac{\pi}{4}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\int_0^\frac{\pi}{4}\mathrm{ d} \phi \int_0^{2\pi}\mathrm{ d} \theta \int_1^2 r^2\cdot r^2\sin\phi\mathrm{ d} \phi=\frac{31}{5}(2-\sqrt{2})\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

695、 4、 求 $\displaystyle \int_0^1 \mathrm{ d} x\int_x^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y}\mathrm{ d} y$. (东南大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^1 \frac{\sin y}{y}\mathrm{ d} y\int_{y^2}^y \mathrm{ d} x =\int_0^1 \sin y(1-y)\mathrm{ d} y\xlongequal[\tiny\mbox{积分}]{\tiny\mbox{分部}} 1-\sin 1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

696、 5、 求 $\displaystyle \iiint_\varOmega (x^2+y^2)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z$, 其中

$$\begin{aligned} \varOmega=\left\{(x,y,z); x^2+y^2+(z-1)^2\geq 1, x^2+y^2+z^2\leq 4, z\geq 0\right\}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(东南大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\int_0^\frac{\pi}{2}\mathrm{ d} \phi \int_0^{2\pi}\mathrm{ d} \theta\int_{2\cos\phi}^2 r^2\sin^2\phi\cdot r^2\sin\phi\mathrm{ d} \phi=\cdots=8\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

697、 (7)、 求三重积分 $\displaystyle \iiint_V \frac{\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z}{(1+x+y+z)^3}$, 其中 $\displaystyle V$ 是由平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 及三个坐标平面围成的立体图形. (广西大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^1\mathrm{ d} x\int_0^{1-x}\mathrm{ d} y\int_0^{1-x-y}\frac{\mathrm{ d} z}{(1+x+y+z)^3}\\\\ =&\int_0^1 \mathrm{ d} \int_0^{1-x}\left[\frac{1}{2(1+x+y)^2}-\frac{1}{8}\right]\mathrm{ d} y\\\\ =&\frac{1}{8}\int_0^1 \left[x-1+4\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}\right)\right]\mathrm{ d} x=\frac{8\ln 2-5}{16}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

698、 8、 求二重积分

$$\begin{aligned} \iint_D \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x=0$ 及 $\displaystyle y=0$ 围成的闭区域. (哈尔滨工程大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&\stackrel{\sqrt{x}=u, \sqrt{y}=v}{=}\iint_{0\leq u,v\leq 1\atop u+v\leq 1} (u+v)\cdot 2u\cdot 2v\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\\\\ &=4\int_0^1 \mathrm{ d} u\int_0^{1-u} (u+v)uv\mathrm{ d} v =\frac{2}{15}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

699、 9、 计算极限

$$\begin{aligned} \lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t^4}\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq t^2}f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle f(0)=0, f'(0)=2$. (哈尔滨工业大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t^4}\int_0^t f(t)\cdot4\pi r^2\mathrm{ d} r \xlongequal{\tiny\mbox{L'Hospital}} \lim_{t\to 0^+}\frac{f(t)\cdot 4\pi t^2}{4t^3}\\\\ =&\pi \lim_{t\to 0^+}\frac{f(t)-f(0)}{t} =\pi f'(0)=2\pi. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

700、 2、 已知 $\displaystyle f(x,y)$ 为二元连续函数, 交换累次积分 $\displaystyle \int_0^\pi \mathrm{ d} x\int_{-\sin\frac{x}{2}}^{\sin x}f(x,y)\mathrm{ d} y$ 的顺序, 使其值保持不变. (华东理工大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_{-1}^0\mathrm{ d} y\int_{-2\arcsin y}^\pi f(x,y)\mathrm{ d} x +\int_0^1 \mathrm{ d} y\int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y}f(x,y)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

701、 4、 设 $\displaystyle D$ 是由 $\displaystyle y=x^3, y=c^3, x=-c\ (c\neq 0)$ 围成的积分区域, 且 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数, 求二重积分

$$\begin{aligned} \iint_D x\left[1+yf(1+|\sin x|+\cos y)\right]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(华东师范大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 不妨设 $\displaystyle c > 0$. 设 $\displaystyle F=xyf(1+|\sin x|+\cos y)$, 则 $\displaystyle F(-x,-y)=F(x,y)$. 而可将 $\displaystyle D$ 在 $\displaystyle x\geq 0$ 的部分移到它关于原点的对称部分.

$$\begin{aligned} \mbox{原式}\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&\int_D x\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y+\int_{[-c,0]\times [-c^3,c^3]}F(x,y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&\int_{-c}^c x\mathrm{ d} x\int_{x^3}^{c^3}\mathrm{ d} y+0\left(\mbox{$F$ 关于 $\displaystyle y$ 是奇函数}\right)\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&-\frac{2c^5}{5}+0=-\frac{2c^5}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

702、 5、 设立体区域 $\displaystyle \varOmega$ 是由 $\displaystyle yOz$ 平面上的曲线 $\displaystyle y^2+z^4-4z^2=0, z\geq 0$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转一周所成的曲面, 点 $\displaystyle (x,y,z)\in \varOmega$ 处的体密度为 $\displaystyle u(x,y,z)=z$, 求 $\displaystyle \varOmega$ 的重心坐标. (华东师范大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle \varOmega$ 由 $\displaystyle x^2+y^2+z^4-4z^2=0, z\geq 0$ 围成. 由对称性知 $\displaystyle \varOmega$ 的重心坐标为 $\displaystyle (0,0,z_0)$. 由

$$\begin{aligned} \iiint_\varOmega u(x,y,z)\mathrm{ d} v=&\int_0^2 z\mathrm{ d} z\iint_{x^2+y^2\leq 4z^2-z^4}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&\int_0^2 z\cdot\pi (4z^2-z^4)\mathrm{ d} z=\frac{16\pi}{3},\\\\ \iiint_\varOmega zu(x,y,z)\mathrm{ d} v=&\int_0^2 z^2\mathrm{ d} z\iint_{x^2+y^2\leq 4z^2-z^4}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ =&\int_0^2 z^2\cdot\pi (4z^2-z^4)\mathrm{ d} z=\frac{256\pi}{35} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} z_0=\frac{1}{\displaystyle\iiint_\varOmega u(x,y,z) \mathrm{ d} v}\iiint_\varOmega z u(x,y,z)\mathrm{ d} v=\frac{48}{35}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle \varOmega$ 的重心为 $\displaystyle \left(0,0,\frac{48}{35}\right)$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

703、 (3)、 求二重积分 $\displaystyle \iint_D \mathrm{e}^\frac{y-x}{x+y}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$, 其中 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle x=0, y=0$ 与 $\displaystyle x+y=2$ 围成的区域. (华南师范大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设 $\displaystyle y-x=v, x+y=u$, 则 $\displaystyle \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\left|\begin{array}{cccccccccc}1&1\\\\ -1&1\end{array}\right|=2$, 而

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^2 \mathrm{ d} u\int_{-u}^u \mathrm{e}^\frac{v}{u}\frac{1}{2}\mathrm{ d} v =\frac{1}{2}\int_0^2 u \left.\mathrm{e}^\frac{v}{u}\right|_{v=-u}^{v=u}\mathrm{ d} u\\\\ =&\frac{1}{2}\int_0^2 u(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1})\mathrm{ d} u=\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

704、 (3)、 计算积分

$$\begin{aligned} \iint_D (x+y)\sin (x-y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle D: \left\{(x,y); 0\leq x+y\leq \pi, 0\leq x-y\leq \pi\right\}$. (华中师范大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 设

$$\begin{aligned} \left.\begin{array}{rrrr} x+y=u\\\\ x-y=v\end{array}\right\}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{llllllllllll}x=\frac{u+v}{2}\\\\ y=\frac{u-v}{2}\end{array}\right., \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=-\frac{1}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}&=\int_0^\pi \mathrm{ d} u\int_0^\pi u\sin v\frac{1}{2}\mathrm{ d} v\\\\ &=\frac{1}{2}\int_0^\pi u\mathrm{ d} u\int_0^\pi \sin v\mathrm{ d} v=\frac{\pi^2}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

705、 (0-23)、 计算二重积分 $\displaystyle \iint_D(x+y)\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$, 其中 $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle y=x^2, x=1$ 与 $\displaystyle x$ 轴所围成的区域. (吉林师范大学2023年(学科数学)数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\int_0^1 \mathrm{ d} x\int_0^{x^2}(x+y)\mathrm{ d} y=\frac{7}{20}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

706、 2、 将积分

$$\begin{aligned} \int_0^1 \mathrm{ d} x\int_0^{1-x}\mathrm{ d} y\int_0^{x+y}f(x,y,z)\mathrm{ d} z \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

交换积分次序, 变为先对 $\displaystyle x$ 再对 $\displaystyle y$ 最后对 $\displaystyle z$ 的累次积分. (南昌大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 题中的四棱锥在 $\displaystyle z\in [0,1]$ 处的截面是一个等腰梯形, 其边由 $\displaystyle x+y=z, x+y=1, x=0, y=0$ 围成. 故

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^1 \mathrm{ d} z\int_0^z \mathrm{ d} y\int_{z-y}^{1-y}f(x,y,z)\mathrm{ d} x +\int_0^1 \mathrm{ d} z\int_z^1 \mathrm{ d} y\int_0^{1-y}f(x,y,z)\mathrm{ d} x. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

707、 4、 (15 分) 设 $\displaystyle B_1$ 为单位圆, $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ 且 $\displaystyle a^2+b^2 > 1$. 求证:

$$\begin{aligned} f(a,b)=\iint_{B_1} \ln \left[(x_1-a)^2+(x_2-b)^2\right]\mathrm{ d} x_1\mathrm{ d} x_2 \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

只依赖于 $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}$, 并求其值. (南京大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 先给出调和函数的平均值公式. 若在 $\displaystyle D$ 内, $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$, $\displaystyle C_R$ 是 $\displaystyle D$ 内以 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 为圆心, $\displaystyle R$ 为半径的圆周, 则

$$\begin{aligned} u(x_0,y_0)=&\frac{1}{2\pi R}\oint_{C_R}u(x,y)\mathrm{ d} s\\\\ =&\frac{1}{\pi R^2}\iint_{B_R} u\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

事实上, 由

$$\begin{aligned} 0=\Delta u=(u_x)_x-(-u_y)_y \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

知

$$\begin{aligned} 0=&\oint_{B_r}[(u_x)_x-(-u_y)_y]\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\\\\ &\quad \left(B_r=\left\{(x,y);(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 < r^2\right\}\right)\\\\ =&\oint_{C_r} \left[-u_y(-\cos(n,y))+u_x\cos(n,x)\right]\mathrm{ d} s\\\\ =&\oint_{C_r} \frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{ d} s =\oint_{C_r} \frac{\partial u}{\partial r}\mathrm{ d} s =\int_0^{2\pi} \frac{\partial u}{\partial r}(r\cos \theta,r\sin\theta)\cdot r\mathrm{ d} \theta\\\\ =&r\frac{\partial}{\partial r}\int_0^{2\pi} u(r\cos \theta,r\sin\theta)\mathrm{ d} \theta =r\frac{\partial }{\partial r}\left[\frac{1}{r}\oint_{C_r}u\mathrm{ d} s\right]. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故

$$\begin{aligned} \frac{1}{R}\oint_{C_R} u\mathrm{ d} s =\lim_{r\to 0^+}\frac{1}{r}\oint_{C_r}u\mathrm{ d} s =2\pi u(x_0,y_0). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

进一步,

$$\begin{aligned} 2\pi r u(x_0,y_0)=\oint_{x^2+y^2=r^2}u\mathrm{ d} s =\int_0^{2\pi}u(x_0+r\cos \theta, y_0+r\sin\theta)\cdot r\mathrm{ d} \theta. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

关于 $\displaystyle r$ 在 $\displaystyle [0,R]$ 上积分即得

$$\begin{aligned} \pi R^2 u(x_0,y_0)=\iint_{x^2+y^2\leq R^2}u\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 设 $\displaystyle u(x,y)=\ln(x^2+y^2)$, 则 $\displaystyle \Delta u=0$, 而

$$\begin{aligned} f(a,b)&\stackrel{x_1-a=u, x_2-b=v}{=}\iint_{(u-a)^2+(v-b)^2\leq 1} \ln (u^2+v^2)\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\\\\ &=\pi 1^2\cdot \ln (a^2+b^2)=\pi \ln (a^2+b^2). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

708、 11、 求三重积分

$$\begin{aligned} \iiint_\varOmega \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y\mathrm{ d} z, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

其中 $\displaystyle \varOmega$ 为 $\displaystyle \left\{(x,y,z); \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1\right\}, a,b,c > 0$. (南京航空航天大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&abc\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq 1}\sqrt{1-u^2-v^2-w^2}\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ =&abc\int_0^1 \sqrt{1-r^2}\cdot 4\pi r^2\mathrm{ d} r \stackrel{r=\sin\theta}{=}\cdots=\frac{\pi^2abc}{4}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

709、 7、 讨论 $\displaystyle \iint_{(x,y)\in\mathbb{R}^2; x\geq 1, y\geq 1} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$ 的敛散性. (厦门大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / (1)、 二重反常积分的定义. 设 $\displaystyle f(x,y)$ 为定义在无界区域 $\displaystyle D$ 上的二元函数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 $\displaystyle \gamma$, $\displaystyle f(x,y)$ 在曲线 $\displaystyle \gamma$ 所围的有界区域 $\displaystyle E_\gamma$ 与 $\displaystyle D$ 的交集是$E_\gamma\cap D=D_\gamma$ 上恒可积. 令

$$\begin{aligned} d_\gamma=\inf\left\{\sqrt{x^2+y^2}; (x,y)\in\gamma\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

若极限 $\displaystyle \lim_{d_\gamma\to+\infty}\iint_{D_\gamma}f(x,y)\mathrm{ d} \sigma$ 存在且有限, 且与 $\displaystyle \gamma$ 的取法无关, 则称 $\displaystyle f(x,y)$ 在 $\displaystyle D$ 上的反常二重积分收敛, 并记

$$\begin{aligned} \iint_D f(x,y)\mathrm{ d} \sigma=\lim_{d_\gamma\to+\infty}\iint_{D_\gamma}f(x,y)\mathrm{ d} \sigma. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

(2)、 回到题目. 设 $\displaystyle D: x\geq 1, y\geq 1$, 取 $\displaystyle \gamma_r: x^2+y^2=r^2$, 则

$$\begin{aligned} \iint_{D_\gamma}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{ d}\sigma\xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} 0. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

取 $\displaystyle \varGamma_r$:

$$\begin{aligned} &\left\{(R,\theta); \frac{\pi}{4}\leq \theta\leq 2\pi\right\}\cup \left\{\left(r,\frac{\pi}{4}\right); R\leq r\leq 2R\right\}\\\\ \cup&\left\{(r,0); R\leq r\leq 2R\right\}\cup \left\{(2R,\theta); 0\leq \theta\leq\frac{\pi}{4}\right\}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

令 $\displaystyle \tilde{D}_r$ 是 $\displaystyle \varGamma_r$ 围成的区域与 $\displaystyle x\geq 1, y\geq 1$ 的交, 则

$$\begin{aligned} &\iint_{\tilde{D}_r}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{ d} \sigma \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}} \iint_{R^2\leq x^2+y^2\leq 4R^2\atop 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{ d} \sigma\\\\ =&\int_0^\frac{\pi}{4}\mathrm{ d} \theta\int_R^{2R}\frac{r^2\cos2\theta}{r^4}\cdot r\mathrm{ d} r =\int_0^\frac{\pi}{4} \cos2\theta\mathrm{ d}\theta\int_R^{2R} \frac{\mathrm{ d} r}{r}=\frac{\ln 2}{2}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故 $\displaystyle \lim_{d_\gamma\to+\infty}\iint_{D_\gamma}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\mathrm{ d} \sigma$ 与 $\displaystyle \gamma$ 的选取有关, 而原反常二重积分不存在.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

710、 (2)、 (20 分) 求积分 $\displaystyle \iint_A \mathrm{e}^{-x^2-y^2}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$, 其中 $\displaystyle A: 1\leq x^2+y^2\leq 3$. (山东大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=\int_1^{\sqrt{3}}\mathrm{e}^{-r^2}\cdot 2\pi r\mathrm{ d} r=\pi(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-3}). \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

711、 9、 (15 分) 求 $\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 在区域

$$\begin{aligned} D=\left\{(x,y,z); x^2+y^2+z^2 < x+y+z\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

上的积分平均值. (山西大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / $\displaystyle D: \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2\leq\frac{3}{4}$. 故

$$\begin{aligned} A=\iiint_D \mathrm{ d} v=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3=\frac{\sqrt{3}\pi}{2}, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned} B=&\iiint_D (x^2+y^2+z^2)\mathrm{ d} v\\\\ =&\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq \frac{3}{4}}\left[\left(\frac{1}{2}+u\right)^2+\left(\frac{1}{2}+v\right)^2+\left(\frac{1}{2}+w\right)^2\right]\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ \xlongequal{\tiny\mbox{对称性}}&\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq \frac{3}{4}}\left[\frac{3}{4}+(u^2+v^2+w^2)\right]\mathrm{ d} u\mathrm{ d} v\mathrm{ d} w\\\\ =&\int_0^\frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{3}{4}+r^2\right)\cdot 4\pi r^2\mathrm{ d} r =\frac{3\sqrt{3}\pi}{5}. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

故所求 $\displaystyle =\frac{B}{A}=\frac{6}{5}$.跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

712、 (4)、 求重积分 $\displaystyle \iint_D \frac{\sin x}{x}\mathrm{ d} x\mathrm{ d} y$, $\displaystyle D$ 为 $\displaystyle y=x, y=\frac{x}{2}, x=2$ 所围成的区域. (陕西师范大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 /

$$\begin{aligned} \mbox{原式}=&\int_0^2 \frac{\sin x}{x}\mathrm{ d} x\int_\frac{x}{2}^x \mathrm{ d} y =\frac{1}{2}\int_0^2 \sin x\mathrm{ d} x =\frac{1-\cos 2}{2}=\sin^21. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/

---

713、 8、 解答如下问题: (1)、 设 $\displaystyle f(x)=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{x}} \cos(t^2)\mathrm{ d} t$, 求 $\displaystyle I=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{ d} x$. (上海大学2023年数学分析考研试题) [重积分 ]

纸质资料/答疑/pdf1/pdf2 / 由 $\displaystyle f(x)\stackrel{t^2=\tau}{=}\int_\frac{\pi}{2}^x \frac{\cos\tau}{2\sqrt{\tau}}\mathrm{ d} \tau$ 知

$$\begin{aligned} I=&-\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\mathrm{ d} x}{\sqrt{x}} \int_x^\frac{\pi}{2} \frac{\cos\tau}{2\sqrt{\tau}}\mathrm{ d} \tau\\\\ =&-\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\cos \tau}{2\sqrt{\tau}}\mathrm{ d} \tau\int_0^\tau \frac{\mathrm{ d} x}{\sqrt{x}} =-\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\cos \tau}{\sqrt{\tau}}\cdot \sqrt{\tau}\mathrm{ d} \tau=-1. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$

跟锦数学微信公众号. 在线资料/公众号/