$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续的充分必要条件
本帖最后由 flyy 于 2023-5-13 07:48 编辑对于函数 $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, 证明:$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续的充分必要条件是, 对于 $\mathbb{R}$ 上的任意 $a,b$,
$ \left\{x; \ f(x) > a\right\}$, $\left\{x;\ f(x) < b\right\} $ 都是开集合.
[纸质资料](https://mp.weixin.qq.com/s/ycnPCSqWFlThEnq9ZZ6gBQ)/[答疑](https://mp.weixin.qq.com/s/JGYZG5rsshf7Z2Amo2di8A)/(https://mp.weixin.qq.com/s/Pt6_h5MqtomrUDYiPEwkxg)/(https://mp.weixin.qq.com/s/dWvpeJFKnFr0WYPoidXXMA) / 一言以蔽之, 这是连续函数的拓扑刻画.
(1)、 $\displaystyle \Rightarrow$:只证 $\displaystyle O=\left\{x; f(x) > a\right\}$ 是开集, 另外一个开集可类似证得. 对 $\displaystyle \forall\ x\in O$, $\displaystyle f(x) > a$. 由连续函数的局部保号性知
$$\begin{aligned} \exists\ \delta_x > 0, \mathrm{ s.t.} \forall\ x\in U(x; \delta_x), f(x) > a. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
于是 $\displaystyle U(x;\delta_x)\subset O$. 这就证明了 $\displaystyle O$ 是开集.
(2)、 $\displaystyle \Leftarrow$:对 $\displaystyle \forall\ x_0\in\mathbb{R}$ 及 $\displaystyle \forall\ \varepsilon > 0$, 由
$$\begin{aligned} O_1=\left\{x; f(x)<f(x_0)+\varepsilon\right\}, O_2=\left\{x; f(x) > f(x_0)-\varepsilon\right\} \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
是包含 $\displaystyle x_0$ 的两个开集知
$$\begin{aligned} \exists\ \delta_i > 0,\mathrm{ s.t.} U(x_0;\delta_i)\subset O_i, i=1,2. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
令 $\displaystyle \delta=\min\left\{\delta_1,\delta_2\right\} > 0$, 则
$$\begin{aligned} U(x_0;\delta)\subset O_1\cap O_2, \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
而 $\displaystyle \forall\ x\in U(x_0;\delta)$,
$$\begin{aligned} f(x)<f(x_0)+\varepsilon, f(x) > f(x_0)-\varepsilon\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \tiny\boxed{\begin{array}{c}\mbox{跟锦数学微信公众号}\\\mbox{zhangzujin.cn}\end{array}}\end{aligned}$$
这就证明了 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle x_0$ 处连续. 由 $\displaystyle x_0$ 的任意性知 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续.
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