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1、 解答下列各题.
(1)、 判断下列数列是否收敛:$\displaystyle 1+\frac\{1\}\{2^2\}+\frac\{1\}\{3^2\}+\cdots+\frac\{1\}\{n^2\}$. fl: 数列极限
(2)、 设 $\displaystyle \left\\{a\_n\right\\}$ 是正数列, 若 $\displaystyle \varlimsup\_\{n\to\infty\}a\_n=1$, 证明:
\begin\{aligned\} \varlimsup\_\{n\to\infty\}\sqrt\{a\_1+\cdots+a\_n\}=1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
fl: 数列极限
(3)、 判断下列函数列是否一致收敛:$\displaystyle f\_n(x)=x^n \cos\frac\{\pi\}\{2x\}, x\in (0,1]$. fl: 函数项级数
(4)、 设 $\displaystyle u=f\left(xy,\frac\{y\}\{x\}\right)$, 求 $\displaystyle \frac\{\partial^2u\}\{\partial x^2\},\frac\{\partial ^2u\}\{\partial x\partial y\}$. fl: 多元函数微分学
(5)、 已知 $\displaystyle f'(a)$ 存在, 求 $\displaystyle \lim\_\{x\to a\}\frac\{xf(a)-af(x)\}\{x-a\}$. fl: 微分
(6)、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle $ 上可导, 且 $\displaystyle f(a)=f(b)$, $\displaystyle a > 0$. 证明:存在 $\displaystyle \xi\in (a,b)$, 使得
\begin\{aligned\} f(a)-f(\xi)=\frac\{\xi f'(\xi)\}\{2\}. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
fl: 微分
(7)、 求极限 $\displaystyle \lim\_\{x\to+\infty\}\frac\{x^n\}\{\ln^2x\}$, 其中 $\displaystyle n$ 是正整数. fl: 函数极限
(8)、 求下列函数的 Fourier 级数展开:
\begin\{aligned\} f(x)=\left\\{\begin\{array\}\{llllllllllll\}\pi-x,&-\pi\leq x<0,\\\\ \pi+x,&0\leq x\leq \pi.\end\{array\}\right. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
fl: Fourier级数
(9)、 求 $\displaystyle f(x)=\sqrt\{x^2\}(x-1)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的极值. fl: 微分
(10)、 设 $\displaystyle V$ 是由平面 $\displaystyle x=0, y=0, z=0$ 和 $\displaystyle x+y+z=1$ 所围成的区域, 求 $\displaystyle \iiint\_V z^2\mathrm\{ d\} x\mathrm\{ d\} y\mathrm\{ d\} z$. fl: 重积分
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2、 设定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的 $\displaystyle f(x)$ 满足:对任意的 $\displaystyle x\_0\in (-\infty,+\infty)$, 都存在 $\displaystyle \delta > 0$, 使得 $\displaystyle f(x\_0)\geq f(x), x\in (x\_0-\delta,x\_0+\delta)$. 证明存在一个区间 $\displaystyle I$ 上 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle I$ 上是常数. fl: 微分
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3、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle $ 上具有连续的导数, $\displaystyle 0<a<b$,
\begin\{aligned\} f(a)=f(b)=0, \quad\int\_a^b f^2(x)\mathrm\{ d\} x=1. \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
证明:$\displaystyle \int\_a^b x^2^2\mathrm\{ d\} x > \frac\{1\}\{4\}$. fl: 积分法与不等式
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4、 给定函数列 $\displaystyle f\_n(x)=\frac\{x|\ln x|^\alpha\}\{n^x\}, n=2,3,\cdots$, 其中 $\displaystyle \alpha > 0$. 试问当 $\displaystyle \alpha$ 取何值时, $\displaystyle \left\\{f\_n(x)\right\\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛. fl: 函数项级数
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5、 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续, 若有
\begin\{aligned\} \int\_\{-1\}^1 x^\{2n+1\}f(x)\mathrm\{ d\} x=0\left(n=0,1,2,\cdots\right). \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
求证:$\displaystyle f(x)$ 是偶函数. fl: 定积分
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6、 设 $\displaystyle a > b > 1$, 证明:$\displaystyle a^\{b^a\} > b^\{a^b\}$. fl: 微分法与不等式
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7、 计算曲面积分
\begin\{aligned\} I=\iint\_\varSigma (x-y+z)\mathrm\{ d\} y\mathrm\{ d\} z+(y-z+x)\mathrm\{ d\} z\mathrm\{ d\} y+(z-x+y)\mathrm\{ d\} x\mathrm\{ d\} y, \tiny\boxed\{\begin\{array\}\{c\}\mbox\{跟锦数学微信公众号\}\\\\\mbox\{zhangzujin.cn\}\end\{array\}\}\end\{aligned\}
其中 $\displaystyle \varSigma:x^2+y^2=z^2$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分. fl: 曲线曲面积分
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8、 证明积分 $\displaystyle \int\_0^1 \frac\{\sin\frac\{1\}\{x\}\}\{x^p\}\mathrm\{ d\} x$ 在 $\displaystyle 0<p<2$ 时非一致收敛, 在 $\displaystyle 0<p<2-\delta$ 时一致收敛, 其中 $\displaystyle \delta > 0$ 是正常数. fl: 含参量积分
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